Найти ортогональную проекцию точки \( M(1,3,5) \) на прямую \( L \), заданную как пересечение двух плоскостей: \[ \begin{cases} 2x + y + z - 1 = 0, \\ 3x + y + 2z - 3 = 0. \end{cases} \]

1. Направляющий вектор прямой Нормали плоскостей: \[ \vec{n_1} = (2,1,1), \quad \vec{n_2} = (3,1,2). \] Направляющий вектор прямой — векторное произведение: \[ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot2 - 1\cdot1) - \mathbf{j}(2\cdot2 - 1\cdot3) + \mathbf{k}(2\cdot1 - 1\cdot3) \] \[ = (2-1)\mathbf{i} - (4-3)\mathbf{j} + (2-3)\mathbf{k} = (1, -1, -1). \]

2. Точка на прямой Положим \( z = 0 \). Система принимает вид: \[ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 3x + y = 3. \end{cases} \] Вычитаем первое из второго: \( x = 2 \). Тогда \( y = 1 - 2x = -3 \). Таким образом, точка \( P_0(2,-3,0) \) лежит на прямой.

3. Параметрические уравнения прямой \[ \begin{cases} x = 2 + t, \\ y = -3 - t, \\ z = -t. \end{cases} \]

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку \( M \) и перпендикулярной прямой Нормалью этой плоскости является направляющий вектор прямой \( \vec{s} = (1,-1,-1) \). Уравнение: \[ 1 \cdot (x - 1) + (-1) \cdot (y - 3) + (-1) \cdot (z - 5) = 0, \] \[ x - 1 - y + 3 - z + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y - z + 7 = 0. \]

5. Нахождение проекции как точки пересечения прямой и плоскости Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости: \[ (2 + t) - (-3 - t) - (-t) + 7 = 0, \] \[ 2 + t + 3 + t + t + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad 12 + 3t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -4. \] Координаты проекции: \[ x = 2 + (-4) = -2, \quad y = -3 - (-4) = 1, \quad z = -(-4) = 4. \]

Ответ: Ортогональная проекция точки \( (1,3,5) \) на данную прямую имеет координаты \[ \boxed{(-2, 1, 4)}. \]