Рассмотрим преобразование $T:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}^n$, задаваемое функцией $\bar x= f(x)$, которая переводит точку $x\in {\mathbb R}^n$ в $\bar x\in {\mathbb R}^n$. Рассмотрим однопараметрическое преобразование $T_a$ зависящее от параметра $a\in {\mathbb R}$: $$ \bar x^i=f^i (x,a), $$ где $i$ пробегает значения от $1$ до $n$. Данные преобразования образуют однопараметрическую группу, если $$ T_bT_a=T_{\varphi (a,b)}, $$ где функция $\varphi (a,b)$, задающая групповое умножение, достаточ­ное число раз дифференцируема.

Основные свойства одно­параметрической группы:

1. $T_0 = I$ — существование единицы;
2. $T^{-1}_a = T_{a^{-1}}$ — существование обрат­ного элемента;
3. $T_c(T_bT_a) = (T_cT_b)T_a$ — ассоциатив­ность умножения в группе.

Параметр $a$ называется каноническим параметром, когда $\varphi (a,b) =a + b$: $$ \vec f(\vec f(\vec z,a)b)=\vec f(\vec z, \varphi (a,b))=\vec f(\vec z, a+b); $$ при этом $a^{-1}=-a$.

В общем случае, когда $\varphi (a,b) \ne a + b$, переход в уравнении Ли к каноническому параметру $a\to \bar{a}$ осуществляется при помощи $$ \bar{a}=\intop _{e}^a \frac{1}{A(a)}\ da, $$ где $$ A(a)=\left. \frac{\partial \varphi (a,b)}{\partial b} \right|_{b=e}, $$ где $e$ — нейтральный элемент, такой что $\varphi (a,e)=a.$

Разложим функцию $\vec f(\vec z,a)$ в ряд Тей­лора по параметру $a$ в окрестности $a = 0.$ По условию $T_0 = I$, тогда $\vec f(\vec z ,0 )= \vec z$ и обозначив

запишем преобразование в виде $$ z'^i = z^i + \xi^i(\vec z)a+\text{o}(a). $$

Рассмотрим примеры к теме раздела.

Введём дифференциальный инфини­тезимальный оператор $$ X=\xi^i(z)\frac{\partial}{\partial z^i}=\xi^i(z)\partial_{z^i} $$

Справедливо утверждение: Всякую однопараметрическую группу преобразований заменой переменных $\bar z=\bar z(z)$ можно привести группе переносов вдоль одной оси $\bar z ^N$, где $$ \bar z^1=J_1(z), \ldots , \bar z^{N-1}=J_{N-1}(z), $$ а последняя переменная $\bar z^N$ получается из уравнения $$ X(\bar z^N)=1. $$ В новых переменных новый оператор выглядит в виде $$ \bar X= X(\bar z^i)\frac{\partial}{\partial \bar z^i}=\frac{\partial}{\partial \bar z^N}, $$ так как $X(\bar z^i)=0$ для $i=\overline{1,N-1}$ и $X(\bar z^N)=1$.

Теорема Всякая однопараметрическая группа (с выпрямленным преобразование $G,$ заменой переменных) подобна группе переносов по одной из координат тогда, при такой замене, оператор $X=\xi^i(x)\partial_{x^i}$ перейдёт в более простой $X'=\partial_{y^N}$.

Рассмотрим более общий случай с заменой переменных $T:x\mapsto y$, тогда в новой системе переменных групповое преобразование $\overline{T_a}:y=TT_aT^{-1}:y=y'=g(y,a)$, следовательно, можем записать $$ y\left(f(x,a)\right)=g\left(y(x),a\right). $$ После дифференцирования по параметру $a$ и беря значение в точке $a=0$ получим $$ \xi^j\frac{\partial y^i}{x^j}=\left . \frac{\partial y^i}{x'^j}\frac{x'^j}{da}\right|_{a=0}= \left . \frac{dg_i}{da}\right|_{a=0}=\eta^i(y), $$ иными словами, пришли к равенству $$ \eta^i(y)=X(y^i). $$

Рассмотрим примеры к теме раздела.

Функция $f$ удовлетворяет уравнению Ли:

Рассмотрим примеры к теме раздела.

Подействуем на функцию $F(x)$ преобразованием $T_a$: $$ T_a F(x)\equiv F(x')=F(T_a x). $$ Продифференцируем по параметру: $$ \frac d{da} F(x')=\frac{\partial F}{\partial x'^j} \frac{dx'^j}{da} =X'F, $$ где $$ X'=\xi ^j(x')\frac{\partial }{\partial x'^j} . $$

Функция $F(z)$ называется инвариантом группы преобра­зований если для всех допустимых $z$ и $a$ выполнено: $$ F(z') = F(f(z,a)) = F(z). $$

Справедливо утверждение, что функция $F(z)$ является инвариантом тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению $$ \xi ^i(z)\frac{\partial F(z)}{\partial z^i} =0, $$ с учётом инфинитезимального оператора критерий инвариантности запишется в виде: $$ XF=0. $$ Критерий инвариантности представляет собой линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Поэтому всякая однопара­метрическая группа преобразований в $\mathbb R$ имеет $N - 1$ функционально независимых инвариантов, причем любой другой инвариант данной группы является функцией этих $N - 1$ базисных инвариантов. В качестве такого базиса можно выбрать левые части первых интегралов $$ J_i(z)=C_i \text{ для } i\in \{1,\ldots, N-1\} $$ характеристической системы $$ \frac{dz^1}{\xi^1(z)}=\frac{dz^2}{\xi^2(z)}=\ldots =\frac{dz^N}{\xi^N(z)}. $$

Инвариантом будет и произвольная функция от инвариантов $$ J=\Phi (J_1 , \ldots, J_{N-1}). $$

Естественным образом можно говорить и об инвариантном многообразии $\mathfrak M$, заданном в пространстве ${\mathbb R}^n$ системой из $s$ уравнений $\Psi ^{\sigma}(x)$, где $\sigma=1, \ldots, s$. Уравнения $\Psi ^{\sigma}(x)$ должны быть независимыми, т.е. ранг матрицы $$rank \left(\frac{\partial \Psi^\sigma}{\partial x^i}\right)^{\sigma = 1,\ldots , s}_{i=1,\ldots, n}=s$$ в этом случае $\forall x\in {\mathfrak M}$ выполнено $T_a x \in {\mathfrak M}.$

Теорема Можно утверждать, что многообразие ${\mathfrak M}$ заданное уравнениями $\Psi ^{\sigma}(x)$ будет инвариантным для группы $G$ тогда и только тогда, когда выполнено $$ X\Psi ^{\sigma}(x)=0, \ \ \ \sigma = 1, \ldots, s. $$

Рассмотрим примеры к теме раздела.

Поверхность $M,$ инвариантная относительно группы $G,$ может быть задана системой уравнений вида $$ \Phi_k(J_1(z), \ldots, J_{N-1}(z)) = 0, \text{ где } k = 1, \ldots , s, $$ где функции $J_1(z), \ldots, J_{N-1}(z)$ образуют базис инвариантов группы $G,$ если инфинитезимальный оператор группы $G$ не обращается в нуль на поверхности $M.$

Групповые преобразования $z' = f(z, a),$ и функции $F(z') = F (F(f(z, a))$ можно представить в виде рядов по степеням группового параметра $a$. Отталкиваясь от разложения $$ z'=f(z,a)\approx z+a\xi(z), $$ $$ F(z')\approx F(z)+a\xi^i(z)\frac{\partial F(z)}{\partial z^i}, $$ вводя обозначения $$ F(z)=F,\ F(z')=F', \ X=\xi^i(z)\frac{\partial}{\partial z^i}, \ X'=\xi^i(z')\frac{\partial}{\partial z'^i} $$ и используя $$ \frac{dF'}{da}=X'F' $$ можем записать разложение в ряд Тейлора: $$ F'=\left. F' \right|_{a=0}+\left.a\frac{dF'}{da}\right|_{a=0}+\left.\frac{a^2}{2!}\frac{d^2F'}{da^2}\right|_{a=0}+\ldots = $$ $$ F+aXF+\frac{a^2}{2!}X^2F+\ldots = $$ $$ (1+aX+\frac{a^2}{2!}X^2+\ldots )F \equiv e^{aX}F(z). $$