Математические заметки - math

rekurrent-det - создано - внешнее изменение

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-10-13T16:26:51+00:00

Рекуррентные соотношения и вычисление определителей Многие определители порядка $n$ не удаётся сразу привести к треугольному виду, зато их легко выразить через определители $n$$D_n$$D_n$$D_{n-1}$$D_{n-2}$$D_1$$D_2$$D_n$$n=1,2,3$$D_n=p\,D_{n-1}$$p$$$D_n=p^{\,n-1}D_1.$$$D_{2n}=(a^2-b^2)D_{2n-2}$$D_2=a^2-b^2$$D_{2n}=(a^2-b^2)^n$$D_n=p_n\,D_{n-1}$$D_n=p_n\,p_{n-1}\cdots p_2\,D_1$$D_n=p\,D_{n-1}+f_n$$$D_n=f_n+p\,f_{n-1}+p^2f_{n-2}+\dots+p^{\,n-2}f_2+p^{\,n-1}D_1.$$$$D_n=\begin{vmatrix}a&b&0&\dots&0&…

proskuryakov.pdf - создано - внешнее изменение

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-10-13T15:30:08+00:00

279 - создано - внешнее изменение

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-10-13T15:29:50+00:00

279. Определитель с ортогональными строками Условие задачи Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}1&2&3&4\\-2&1&-4&3\\3&-4&-1&2\\4&3&-2&-1\end{vmatrix}.$$ Решение Способ 1 (умножение на транспонированную). Обозначим матрицу через $A$$1+4+9+16=30$$$(1,2,3,4)\cdot(-2,1,-4,3)=-2+2-12+12=0,\qquad (1,2,3,4)\cdot(3,-4,-1,2)=3-8-3+8=0$$$AA^{\mathsf T}=30E$$$(\det A)^2=\det(AA^{\mathsf T})=30^4,\qquad \det A=\pm900.$$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\c&-d&-a&b\\d&c&-b&-a\end{pmatrix}$$a,b,c,d$$\p…

fen-a1 - внешнее изменение

Anonymous (anonymous@undisclosed.example.com) — 2026-09-24T15:54:54+00:00

[Д.К.Фаддеев и И.С.Соминский, Задачи по высшей алгебре (2008)] (в изданиях разных годов номера отличаются!) [ Пособие по комплексным числам ] [И.В.Проскуряков, Сборник задач по линейной алгебре] Занятие 1. Комплексные числа На занятии: 101, 103, 107(а), 112(а), 113, 118, 119, 121, 123 Дома: 106, 107, 112, 119, 175. Дополнительно (по теме):…

complex_numbers_evseev.pdf - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-09-23T00:24:05+00:00

46.6 - [Пример: матрица из задачи 46.6(б)]

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T03:20:14+00:00

Условие 46.6. Найти канонический базис и матрицу в этом базисе ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:\[\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix};\]\[\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -\sqrt{2} \\ 1 & 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.\]$A = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}$$A^2=I$$\lambda=1$$\lambda=-1$$\lambda=1$$A-I$$(2,1,0)$$(-1,0,1)$\[ e_1 = …

37.33 - [Общий алгоритм приведения кососимметрической билинейной формы к каноническому виду]

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T01:22:28+00:00

Задача 37.33 Привести к каноническому виду кососимметрические билинейные функции. а) \[ B(x,y)=x_1y_2 - x_1y_3 - x_2y_1 + 2x_2y_3 + x_3y_1 - 2x_3y_2 \] Матрица формы: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Ранг = 2. Выберем базис: \[ f_1 = (1,0,0),\quad f_2 = (0,1,0),\quad f_3 = (2,1,1). \] В этом базисе $B(f_1,f_2)=1$$B(f_1,f_3)=B(f_2,f_3)=0$$B(f_3,f_3)=0$$x$$y$\[ \begin{cases} y_1 = x_1 - 2x_3,\\ y_2 = x_2 - x_3,\\ y_3 = x_3. \end{cases} \]\[ B(x,y)…

19.11 - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T01:19:57+00:00

Задача 19.11 Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор $[A, B] = AB - BA$ — кососимметрическая матрица. Решение $A^T = A$$B^T = B$\[ [A,B]^T = (AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB - BA) = -[A,B]. \]$[A,B]$$A^T = -A$$B^T = -B$\[ [A,B]^T = (AB - BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB = -(AB - BA) = -[A,B]. \]$[A,B]$…

37.35 - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T01:16:07+00:00

Задача 37.35 Доказать, что функция \[ h(f,g)=\int_0^1 f(x)\,g'(x)\,dx \] на пространстве многочленов степени $\le 5$, обращающихся в нуль в точках $0$ и $1$, является кососимметрической, и найти для неё канонический базис.$V=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]_{\le5}\mid p(0)=p(1)=0\}$$f,g\in V$\[ h(f,g)=\int_0^1 f g'\,dx. \]\[ \int_0^1 f g'\,dx = fg\Big|_0^1-\int_0^1 f' g\,dx = 0 - \int_0^1 f' g\,dx = -\int_0^1 g f'\,dx = -h(g,f). \]$f(0)=f(1)=g(0)=g(1)=0$$h(f,g)=-h(g,f)$$D:V\to P_4$$D(f)=f'$$f(0)=0$$\le4$…

сопряженный_оператор

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T00:56:59+00:00

Сопряженный оператор * Сопряженный 44.3, 44.4, 44.9а * Самосопряженный 45.4(а,б), 45.7, 45.19, 29.19, 30.36, * Ортогональный, унитарный 45.8, 46.5а, 46.6, 46.7 а,б,д, 46.13а,б, 29.47, 29.45, 29.50, 30.2, 30.4, 30.6, 30.7, 30.34 * Кососимметрический

44.31 - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T00:56:08+00:00

Задача 44.31 Доказать, что всякий оператор $A$ в евклидовом пространстве $V$ кососимметричен тогда и только тогда, когда для любого $x\in V$ векторы $x$ и $Ax$ ортогональны, то есть $\langle Ax,x\rangle=0$$x\in V$$A$$A^*=-A$$A^*$$A$$A^*=-A$$x\in V$\[ \langle Ax,x\rangle = \langle x,A^*x\rangle = \langle x,-Ax\rangle = -\langle Ax,x\rangle. \]$2\langle Ax,x\rangle=0$$\langle Ax,x\rangle=0$$x\in V$$\langle Ax,x\rangle=0$$x,y\in V$$x+y$\[ \langle A(x+y),\,x+y\rangle = 0. \]\[ \langle Ax,x\rangle +…

46.7 - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2026-05-18T00:44:38+00:00

46.7. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей:$$A=\left( \begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right) $$$\alpha\neq k\pi;$$$\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)=\lambda^{2}-2\lambda\cos\alpha+1=\left(\cos\alpha+\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)\left(\cos\alpha-\sqrt{\cos^{2}\alpha-1}-\lambda\right)=\left(e^{i\alpha}-\lambda\right)\left(e^{-i\alpha}-\…

faddeev.pdf - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2024-09-07T03:59:21+00:00

парабола.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2022-11-07T13:55:16+00:00

гипербола1.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2022-11-07T13:51:43+00:00

гиперболаpng.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2022-11-07T12:22:14+00:00

элипс.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2022-11-07T12:19:07+00:00

542.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2022-10-08T03:38:58+00:00

t2-2.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2021-09-20T02:52:16+00:00

t2-1.png - создано

root (root@undisclosed.example.com) — 2021-09-20T02:51:45+00:00