Это старая версия документа!

Задача 39.20. Линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}[x]_2$ имеет в базисе $(1, x, x^2)$ матрицу \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \] Найти его матрицу в базисе \[ (3x^2 + 2x + 1,\; x^2 + 3x + 2,\; 2x^2 + x + 3). \]

—

Решение.

1. Координаты новых базисных векторов в старом базисе

 Старый базис: $e_1 = 1$, $e_2 = x$, $e_3 = x^2$.  
 \[
 \begin{aligned}
 b_1 &= 3x^2+2x+1 = 1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (1,2,3)^T,\\
 b_2 &= x^2+3x+2 = 2\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 1\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (2,3,1)^T,\\
 b_3 &= 2x^2+x+3 = 3\cdot e_1 + 1\cdot e_2 + 2\cdot e_3 \quad\Rightarrow\quad (3,1,2)^T.
 \end{aligned}
 \]  
 Матрица перехода от нового базиса к старому (столбцы – координаты новых векторов):  
 \[
 P = \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 2 & 3 & 1 \\
 3 & 1 & 2
 \end{pmatrix}.
 \]

2. Обратная матрица

 $\det P = -18$.  
 \[
 P^{-1} = \frac{1}{-18} \begin{pmatrix}
 5 & -1 & -7 \\
 -1 & -7 & 5 \\
 -7 & 5 & -1
 \end{pmatrix}^T = \frac{1}{18} \begin{pmatrix}
 -5 & 1 & 7 \\
 1 & 7 & -5 \\
 7 & -5 & 1
 \end{pmatrix}.
 \]

3. Вычисление $A P$

 \[
 A P = \begin{pmatrix}
 0 & 0 & 1 \\
 0 & 1 & 0 \\
 1 & 0 & 0
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 1 & 2 & 3 \\
 2 & 3 & 1 \\
 3 & 1 & 2
 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix}
 3 & 1 & 2 \\
 2 & 3 & 1 \\
 1 & 2 & 3
 \end{pmatrix}.
 \]

4. Новая матрица $B = P^{-1} (A P)$

 \[
 B = \frac{1}{18}
 \begin{pmatrix}
 -5 & 1 & 7 \\
 1 & 7 & -5 \\
 7 & -5 & 1
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
 3 & 1 & 2 \\
 2 & 3 & 1 \\
 1 & 2 & 3
 \end{pmatrix}
 = \frac{1}{18}
 \begin{pmatrix}
 -6 & 12 & 12 \\
 12 & 12 & -6 \\
 12 & -6 & 12
 \end{pmatrix}
 = \frac{1}{3}
 \begin{pmatrix}
 -1 & 2 & 2 \\
 2 & 2 & -1 \\
 2 & -1 & 2
 \end{pmatrix}.
 \]

Ответ: \[ \boxed{\frac13 \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}} \]