Доказать, что в пространстве \(\mathbb{R}^3\) существует единственный линейный оператор, переводящий векторы \((1,1,1)\), \((0,1,0)\), \((1,0,2)\) соответственно в векторы \((1,1,1)\), \((0,1,0)\), \((1,0,1)\), и найти матрицу этого оператора в базисе из единичных векторов.

—

Проверим, что векторы \[ v_1 = (1,1,1),\quad v_2 = (0,1,0),\quad v_3 = (1,0,2) \] образуют базис в \(\mathbb{R}^3\). Составим матрицу из их координат (по столбцам): \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix},\quad \det P = 1\cdot(1\cdot2-0\cdot0) - 0 + 1\cdot(1\cdot0-1\cdot1) = 2-1=1\neq0, \] следовательно, это базис. Поэтому линейный оператор \(A\), определённый условиями \(A v_i = w_i\) с \[ w_1 = (1,1,1),\quad w_2 = (0,1,0),\quad w_3 = (1,0,1), \] существует и единственен.

Матрица оператора в стандартном базисе находится по формуле \[ A = W \cdot P^{-1}, \] где \(W\) — матрица, столбцы которой — координаты \(w_i\): \[ W = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Найдём \(P^{-1}\). Решая матричное уравнение \(P X = I\), получаем: \[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Теперь вычислим произведение: \[ A = W P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2+0\cdot(-2)+1\cdot(-1) & 1\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot1 \\ 1\cdot2+1\cdot(-2)+0\cdot(-1) & 1\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot(-1)+1\cdot1+0\cdot1 \\ 1\cdot2+0\cdot(-2)+1\cdot(-1) & 1\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]

Проверка: \[ A v_1 = (1,1,1)=w_1,\quad A v_2 = (0,1,0)=w_2,\quad A v_3 = (1,0,1)=w_3. \]

—

Матрица оператора в стандартном базисе: \[ \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}. \]