Пусть линейный оператор в пространстве $\mathbb{R}^{3}$ имеет в базисе $E_{1}=((8,-6,7),(-16,7,-13),(9,-3,7))$ матрицу

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -18 & 15\\ -1 & -22 & 20\\ 1 & -25 & 22 \end{array}\right).$$

Найти его матрицу в базисе $E_{2}=((1,-2,1),(3,-1,2),(2,1,2))$.

Найдём матрицу перехода из базиса $E_{1}$ в $E_{2}$:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|c|c} 8 & -16 & 9 & 1 & 3 & 2 & X & A_{1}\\ -6 & 7 & -3 & -2 & -1 & 1 & X & A_{2}\\ 7 & -13 & 7 & 1 & 2 & 2 & X & A_{3}\\ \hline 1 & -6 & 4 & -1 & 1 & 3 & X & A_{4}=A_{3}+A_{2}\\ 1 & -3 & 2 & 0 & 1 & 0 & X & A_{5}=A_{1}-A_{3}\\ 0 & 8 & -7 & 1 & -5 & 2 & X & A_{6}=A_{3}-7A_{5}\\ 0 & -3 & 2 & -1 & 0 & 3 & X & A_{7}=A_{4}-A_{5}\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -3 & & A_{8}=A_{5}-A_{7}\\ 0 & 0 & -5 & -5 & -15 & 30 & X & A_{9}=3A_{6}+8A_{7}\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -6 & & A_{10}=-A_{9}/5\\ 0 & 3 & 0 & 3 & 6 & -15 & X & A_{11}=2A_{10}-A_{7}\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & -5 & & A_{12}=A_{11}/3 \end{array}\right)$$

В итоге получили матрицу перехода от базиса $E_{1}$ к базису $E_{2}$ в виде

$$T=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3\\ 1 & 2 & -5\\ 1 & 3 & -6 \end{array}\right).$$

Теперь переход к матрице оператора в базисе $E_{2}$

$$A'=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 3 & -1 & -2\\ 2 & -3 & 1 \end{array}\right).$$