Даны четыре вектора в $\mathbb{R}^4$: $$ a_1 = \{1, 2, 3, 4\},\quad a_2 = \{4, 3, 2, 1\},\quad a_3 = \{-1, 1, 3, 5\},\quad a_4 = \{0, 1, 2, 3\}. $$ Показать, что эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему линейно независимых векторов и выразить остальные векторы через векторы этой подсистемы.

Составим матрицу, столбцами которой являются координаты векторов: $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 5 & 3 \end{pmatrix}. $$ Приведем матрицу к ступенчатому виду. Вычтем из второй строки удвоенную первую, из третьей – утроенную первую, из четвертой – учетверенную: $$ \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 & 1 \\ 0 & -10 & 6 & 2 \\ 0 & -15 & 9 & 3 \end{pmatrix}. $$ Видим, что третья строка равна удвоенной второй, а четвертая – утроенной второй. Следовательно, ранг матрицы равен 2, и векторы линейно зависимы.

Максимальная линейно независимая подсистема состоит из двух векторов. Выберем в качестве базиса $a_1$ и $a_2$ (они не пропорциональны). Выразим $a_3$ и $a_4$ через них.

Для $a_3$: ищем $\alpha$, $\beta$ такие, что $a_3 = \alpha a_1 + \beta a_2$: $$ \begin{cases} \alpha + 4\beta = -1, \\ 2\alpha + 3\beta = 1, \\ 3\alpha + 2\beta = 3, \\ 4\alpha + \beta = 5. \end{cases} $$ Из первых двух уравнений находим $\beta = -\frac{3}{5}$, $\alpha = \frac{7}{5}$. Подстановка в остальные уравнения подтверждает решение. Таким образом, $$ a_3 = \frac{7}{5}a_1 - \frac{3}{5}a_2. $$

Для $a_4$: $$ \begin{cases} \alpha + 4\beta = 0, \\ 2\alpha + 3\beta = 1, \\ 3\alpha + 2\beta = 2, \\ 4\alpha + \beta = 3. \end{cases} $$ Получаем $\beta = -\frac{1}{5}$, $\alpha = \frac{4}{5}$. Проверка верна. Следовательно, $$ a_4 = \frac{4}{5}a_1 - \frac{1}{5}a_2. $$

Векторы линейно зависимы. Максимальная линейно независимая подсистема: $\{a_1, a_2\}$. Выражения остальных: $$ a_3 = \frac{7}{5}a_1 - \frac{3}{5}a_2, \qquad a_4 = \frac{4}{5}a_1 - \frac{1}{5}a_2. $$