а) Найдите собственные числа и базис из собственных векторов оператора $R:\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}\to\mathbb{R}[x]_{\leqslant2}$ , заданного по правилу $R:f(x)\mapsto f(1-x)-f(x)$;

б) изобразите графики найденных базисных многочленов на отрезке $[0,1].$

$$R:f(x)\mapsto f(1-x)-f(x),$$

$$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$

тогда

$$R:f(x)\mapsto a_{0}+a_{1}(1-x)+a_{2}(1-x)^{2}-(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=$$

$$a_{0}+a_{1}-a_{1}x+a_{2}(1-2x+x^{2})-(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=a_{1}+a_{2}-2(a_{1}+a_{2})x$$

$$\left(\begin{array}{c} a_{1}+a_{2}\\ 2(a_{1}+a_{2})\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2} \end{array}\right).$$

Так как матрица верхнетреугольна, то собственные числа на диагонали это $2$ и второй корень $0$ — кратности два.

$$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{2}+x_{3}\\ 2x_{2}+2x_{3}\\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).$$

Ядро преобразования состоит из собственных векторов $(1,0,0)^{T}$ и $(0,1,-1)^{T}$ с корнем $\lambda=0$.

$$\left(\begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -2\\ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Найдите ядро и образ оператора P на $\mathbb{R}^{3}$ , заданного в стандартном ОНБ матрицей $E-uu^{T}$ , где $u$ — это столбец, $u=\frac{1}{3}(-1,2,2)^{T}$. Доказать, что $\text{Ker}P\bot\text{Im}P.$

$$A=E-uu^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{c} -1\\ 2\\ 2 \end{array}\right)(-1,2,2)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)-\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2\\ -2 & 4 & 4\\ -2 & 4 & 4 \end{array}\right)=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 8 & 2 & 2\\ 2 & 5 & -4\\ 2 & -4 & 5 \end{array}\right)$$

$$\chi_{A}=\lambda(\lambda-9)^{2}=0$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 8 & 2 & 2\\ 2 & 5 & -4\\ 2 & -4 & 5\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 2\\ 2 & 1 & -4\\ 2 & 1 & 5\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 0 & 4 & 2\\ 0 & 1 & -4\\ 0 & 1 & 5\\ 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right).$$

Значит $\text{Ker}P=\left\langle (1,-2,-2)^{T}\right\rangle $, $\text{Im}P=\left\langle (4,1,1)^{T},(2,-4,5)^{T}\right\rangle $. Скалярное произведение $\left((1,-2,-2)^{T}(4,1,1)^{T}\right)=4-2-2=0,$ $\left((1,-2,-2)^{T}(2,-4,5)^{T}\right)=2+8-10=0.$

Пусть $U$ — подпространство в пространстве всех $2\times2$–матриц $M_{2}(\mathbb{R})$, состоящее из матриц вида $$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right),$$ $C_{A}:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R})$ — это оператор, заданный по правилу $C_{A}(X)=AXA^{-1}$, где $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right).$$ Доказать, что $U$ инвариантно относительно $C_{A}$ и найти матрицу ограничения (сужения) $\left.C_{A}\right|_{U}$ в каком-нибудь базисе подпространства $U.$

$$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)\in U\subset M_{2}(\mathbb{R})$$

$$C_{A}(X)=AXA^{-1},$$ где $$A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right),$$ найдём $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)$$ тогда

$$C_{A}(X)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} z & -x\\ x+z & y-x \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} z+x & -z\\ \left(2x+z+y\right) & \left(-x-z\right) \end{array}\right)\in U.$$

Запишем матрицу $X$ в базисе $$\left(\begin{array}{cc} x & y\\ z & -x \end{array}\right)=x\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)+z\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}.$$

Тогда в этом базисе матрица сужения:

$$\left.C_{A}\right|_{U}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right).$$

Вычислить $\sin A,$ где $$A=\left(\begin{array}{cc} \pi-1 & -1\\ 1 & \pi+1 \end{array}\right)$$

$$\chi_{A}=\det\left(\begin{array}{cc} \pi-1-\lambda & -1\\ 1 & \pi+1-\lambda \end{array}\right)=\lambda^{2}-2\pi\lambda+\pi^{2}=\left(\pi-\lambda\right)^{2}.$$

Корень вырожден, тогда воспользуемся многочленом Тейлора:

$$f(A)=Ef(\lambda)+f^{(1)}(\lambda)\left(A-\lambda E\right)=$$

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\sin\pi+\cos\pi\left(\left(\begin{array}{cc} \pi-1 & -1\\ 1 & \pi+1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} \pi & 0\\ 0 & \pi \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right).$$

Доказать, что $\mathbb{R}^{2}$ есть прямая сумма собственных подпространств оператора с матрицей $$A=\left(\begin{array}{cc} 3 & 1\\ 1 & 3 \end{array}\right)$$ и найти проекцию вектора $(2,1)^{T}$ на собственное подпространство, отвечающее большему собственному числу, параллельно собственному подпространству, отвечающему меньшему собственному числу.

Найдём собственные числа:

$$\chi_{A}=\lambda^{2}-6\lambda+8=(2-\lambda)(4-\lambda).$$

Найдём собственные вектора или соответствующие ядра:

для $\lambda=2$: $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 0\\ -1 & 1 \end{array}\right),$$ собственный вектор $(1,-1)^{T},$

для $\lambda=4$: $$\left(\begin{array}{cc} -1 & 1\\ 1 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & -1\\ 1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}\right),$$ собственный вектор $(1,1)^{T}.$

Разложим вектор $(2,1)^{T}=\alpha(1,-1)^{T}+\beta(1,1)^{T}$

Тогда возникает система $\alpha+\beta=2,-\alpha+\beta=-1$, следовательно, $\beta=\frac{1}{2},\alpha=\frac{3}{2}$ так, что

$(2,1)^{T}=\frac{3}{2}(1,-1)^{T}+\frac{1}{2}(1,1)^{T}.$ Тогда проекция вектора на подпространство с большим собственным числом — $\frac{1}{2}(1,1)^{T}.$