Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти переходом к жордановой форме $J_{A}=T^{-1}AT$, тогда $$f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}.$$

Если матрица в жордановой форме разбивается на клетки Жордана:

$$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc} J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\ 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right) \end{array}\right),$$ то функция разбивается на функции от каждой клетки:

$$f\left(J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\right)=f\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \lambda_{1} & 1 & \ldots & 0\\ 0 & 0 & \lambda_{1} & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc} f(\lambda_{1}) & \frac{1}{1!}f'(\lambda_{1}) & \frac{1}{2!}f''(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(\lambda_{1})\\ 0 & f(\lambda_{1}) & \frac{1}{1!}f'(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-2)!}f^{(n-2)}(\lambda_{1})\\ 0 & 0 & f(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-3)!}f^{(n-3)}(\lambda_{1})\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_{1}) \end{array}\right)=F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)$$

так, что

$$f(J_{A})=f\left(\begin{array}{cccc} J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\ 0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0\\ 0 & F_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ldots & F_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right) \end{array}\right).$$

Давайте в качестве рассмотрим простую функцию $f(x)=x^{4},$ тем более, что результат будет легко перепроверить. Рассмотрим матрицу

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 6 & -5 & 2\\ 5 & -5 & 3\\ 6 & -9 & 6 \end{array}\right).$$

Её характеристический многочлен мы находили в предыдущей теме: $$ f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc} 6-\lambda & -5 & 2\\ 5 & -5-\lambda & 3\\ 6 & -9 & 6-\lambda \end{array}\right|=-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12. $$

Корнями многочлена $-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12=0$ являются $\lambda=3$ и $\lambda=2.$ Второй корень имеет кратность 2.

Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным числам. Сначала для $\lambda=3$:

$$A-3\cdot E=A_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3 \end{array}\right)\underset{\to}{(3)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)+3(2)}$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)+2(2)}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)$$

приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением будет вектор $$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right).$$

Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=2$:

$$A-2\cdot E=A_{2}=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\underset{\to}{(3)-(2)}\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)-4(3)}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2\\ 5 & -7 & 3\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2\\ 0 & 3 & -2\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{2(2)+3(3)}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -2\\ 3 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением будет вектор $$\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array}\right).$$ В итоге размерность собственного пространства — 1, а алгебраическая размерность — 2, значит жорданова клетка будет $$J(2)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right).$$ Для поиска матрицы перехода найдём базис образа $A_{3}:$

$$\left(\begin{array}{ccc} 3 & -5 & 2\\ 5 & -8 & 3\\ 6 & -9 & 3\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(1)+(3)}\left(\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 2\\ 5 & 0 & 3\\ 6 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right)\underset{\to}{(3)+2(1)}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right)$$

Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$ а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$ Подействуем на вектор матрицей $A_{2}$

$$\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 2\\ 5 & -7 & 3\\ 6 & -9 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3 \end{array}\right)=\vec{v}_{2}$$

получили собственный вектор, тогда матрица перехода к новому базису:

$$T=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 1 \end{array}\right)$$

а жорданова форма:

$$J_{A}=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right).$$

Теперь найдём функцию от матрицы. Рассмотрим в качестве функции $f(x)=x^{4}$ что бы можно было проверить результат обычным вычислением. Тогда

$$A^{4}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$$

$$T\left(\begin{array}{ccc} f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0\\ 0 & f(2) & 0\\ 0 & 0 & f(3) \end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc} 2^{4} & 4\cdot2^{3} & 0\\ 0 & 2^{4} & 0\\ 0 & 0 & 3^{4} \end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 2^{4} & 2^{5} & 0\\ 0 & 2^{4} & 0\\ 0 & 0 & 3^{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -2 & 3 & -1\\ 1 & -2 & 1\\ 3 & -3 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 243 & -259 & 97\\ 259 & -307 & 129\\ 291 & -387 & 177 \end{array}\right).$$

Прямой проверкой можно убедиться, что

$$A^{2}=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc} 23 & -23 & 9\\ 23 & -27 & 13\\ 27 & -39 & 21 \end{array}\right)$$

и

$$A^{2}\cdot A^{2}=\left(\begin{array}{ccc} 243 & -259 & 97\\ 259 & -307 & 129\\ 291 & -387 & 177 \end{array}\right).$$