Это старая версия документа!
Функция $f$ от матрицы $A$, если она определена, то её можно найти переходом к жордановой форме $J_{A}=T^{-1}AT$, тогда $f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}$.
Если матрица в жордановой форме разбивается на клетки Жордана:
$J_{A}=\left(\begin{array}{cccc}
J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0
0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right)
\end{array}\right)$,
то функция разбивается на функции от каждой клетки так, что
$f\left(J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)\right)=f\left(\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0
0 & \lambda_{1} & 1 & \ldots & 0
0 & 0 & \lambda_{1} & \ldots & 0
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda_{1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
f(\lambda_{1}) & \frac{1}{1!}f'(\lambda_{1}) & \frac{1}{2!}f''(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-1)!}f^{(n-1)}(\lambda_{1})
0 & f(\lambda_{1}) & \frac{1}{1!}f'(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-2)!}f^{(n-2)}(\lambda_{1})
0 & 0 & f(\lambda_{1}) & \ldots & \frac{1}{(n-3)!}f^{(n-3)}(\lambda_{1})
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_{1})
\end{array}\right)=F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right)$
так, что
$f(J_{A})=f\left(\begin{array}{cccc}
J_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0
0 & J_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & \ldots & J_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
F_{n_{1}}\left(\lambda_{1}\right) & 0 & \ldots & 0
0 & F_{n_{2}}\left(\lambda_{2}\right) & \ldots & 0
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
0 & 0 & \ldots & F_{n_{k}}\left(\lambda_{k}\right)
\end{array}\right)$
Давайте в качестве рассмотрим простую функцию $f(x)=x^{4},$ тем более, что результат будет легко перепроверить. Рассмотрим матрицу
$A=\left(\begin{array}{ccc}
6 & -5 & 2
5 & -5 & 3
6 & -9 & 6
\end{array}\right).$
Её характеристический многочлен мы находили в предыдущей теме: \[ f(\lambda)=\det\left(A-E\lambda\right)=\left|\begin{array}{ccc} 6-\lambda & -5 & 2\\ 5 & -5-\lambda & 3\\ 6 & -9 & 6-\lambda \end{array}\right|=-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12. \]
Корнями многочлена $-\lambda^{3}+7\lambda^{2}-16\lambda+12=0$ являются $\lambda=3$ и $\lambda=2.$ Второй корень имеет кратность 2.
Найдем собственные векторы, принадлежащие собственным числам. Сначала для $\lambda=3$:
$A-3\cdot E=A_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
3 & -5 & 2
5 & -8 & 3
6 & -9 & 3
\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc}
3 & -5 & 2
5 & -8 & 3
0 & 1 & -1
\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-2(1)}\left(\begin{array}{ccc}
3 & -5 & 2
-1 & 2 & -1
0 & 1 & -1
\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+3(2)}$
$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1
-1 & 2 & -1
0 & 1 & -1
\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1
0 & 1 & -1
\end{array}\right)\underset{\to}{(1)+2(2)}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1
0 & 1 & -1
\end{array}\right)$
приходим к уравнениям: $x_{2}-x_{3}=0$ и $-x_{1}+x_{2}=0$ их решением
будет вектор $\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c}
1
1
1
\end{array}\right).$
Теперь найдем собственный вектор для $\lambda=2$:
$A-2\cdot E=A_{2}=\left(\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 2
5 & -7 & 3
6 & -9 & 4
\end{array}\right)\underset{\to}{(3)-(2)}\left(\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 2
5 & -7 & 3
1 & -2 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-4(3)}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -2
5 & -7 & 3
1 & -2 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{(2)-5(3)}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -2
0 & 3 & -2
1 & -2 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{2(2)+3(3)}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -2
3 & 0 & -1
\end{array}\right)$
приходим к уравнениям: $3x_{2}-2x_{3}=0$ и $3x_{1}-x_{3}=0$ их решением
будет вектор $\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c}
1
2
3
\end{array}\right).$ В итоге размерность собственного пространства — 1, а алгебраическая
размерность — 2, значит жорданова клетка будет $J(2)=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1
0 & 2
\end{array}\right).$ Для поиска матрицы перехода найдём базис образа $A_{3}:$
$\left(\begin{array}{ccc}
3 & -5 & 2
5 & -8 & 3
6 & -9 & 3
1 & 0 & 0
0 & 1 & 0
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{(2)+(1)+(3)}\left(\begin{array}{ccc}
3 & 0 & 2
5 & 0 & 3
6 & 0 & 3
1 & 1 & 0
0 & 1 & 0
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{(1)-2(3)}\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 2
-1 & 0 & 3
0 & 0 & 3
1 & 1 & 0
0 & 1 & 0
-2 & 1 & 1
\end{array}\right)\underset{\to}{(3)+2(1)}\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0
-1 & 0 & 1
0 & 0 & 3
1 & 1 & 2
0 & 1 & 0
-2 & 1 & -3
\end{array}\right)$
Таким образом базис ядра как мы и находили раньше $(1,1,1)^{T},$ а базис образа $\left\langle (-1,-1,0)^{T},(0,1,3)^{T}\right\rangle .$ Подействуем на вектор матрицей $A_{2}$
$\left(\begin{array}{ccc}
4 & -5 & 2
5 & -7 & 3
6 & -9 & 4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
0
1
3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1
2
3
\end{array}\right)=\vec{v}_{2}$
получили собственный вектор, тогда матрица перехода к новому базису:
$T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1
2 & 1 & 1
3 & 3 & 1
\end{array}\right)$
а жорданова форма:
$J_{A}=T^{-1}AT=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 0
0 & 2 & 0
0 & 0 & 3
\end{array}\right)$.
Теперь найдём функцию от матрицы. Рассмотрим в качестве функции $f(x)=x^{4}$ что бы можно было проверить результат обычным вычислением. Тогда
$A^{4}=f(A)=f(TJ_{A}T^{-1})=Tf(J_{A})T^{-1}=$
$T\left(\begin{array}{ccc}
f(2) & \frac{1}{1!}f'(2) & 0
0 & f(2) & 0
0 & 0 & f(3)
\end{array}\right)T^{-1}=T\left(\begin{array}{ccc}
2^{4} & 4\cdot2^{3} & 0
0 & 2^{4} & 0
0 & 0 & 3^{4}
\end{array}\right)T^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1
2 & 1 & 1
3 & 3 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
2^{4} & 2^{5} & 0
0 & 2^{4} & 0
0 & 0 & 3^{4}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-2 & 3 & -1
1 & -2 & 1
3 & -3 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
243 & -259 & 97
259 & -307 & 129
291 & -387 & 177
\end{array}\right)$
Прямой проверкой можно убедиться, что
$A^{2}=A\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}
23 & -23 & 9
23 & -27 & 13
27 & -39 & 21
\end{array}\right)$
и
$A^{2}\cdot A^{2}=\left(\begin{array}{ccc}
243 & -259 & 97
259 & -307 & 129
291 & -387 & 177
\end{array}\right)$