Отображение $\varphi:V\to W$ пространства $V$ в пространство $W$ называется линейным, если для любых $X,Y\in V$ и для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{F}$ выполняется: $\varphi(\alpha X+\beta Y)=\alpha\varphi(X)+\beta\varphi(Y).$ Если пространства совпадают $V=W,$ то линейное отображение $\varphi$ называется оператором.

Так как произвольный вектор представлен именно в собственном базисе: $X=\sum_{i}x_{i}e_{i},$ тогда $$Y=\varphi(X)=\varphi(\sum_{i}x_{i}e_{i})=\sum_{i}x_{i}\varphi(e_{i})=\sum_{i}x_{i}\left(\sum_{j}A_{ij}f_{j}\right)=\sum_{j}\left(\sum_{i}x_{i}A_{ij}\right)f_{j}.$$

В матричном виде $Y=AX,$ причём в общем случае размерности $\dim V=n,\dim W=m,$ тогда размерность матрицы будет $nm$, где $n$ – строк, $m$ – столбов. При переходе к новому базису $$\left(f_{1}',\ldots,f_{m}'\right)=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)S,\ \ \ \left(e_{1}',\ldots,e_{n}'\right)=\left(e_{1},\ldots,e_{n}\right)T$$ матрица преобразования изменится так, что $SY'=ATX',$ умножая это равенство слева на $S^{-1}$ придём к $Y'=S^{-1}ATX',$ следовательно, $A'=S^{-1}AT.$ Если пространства совпадают $V=W,$ то $S=T,$следовательно, для нового оператора получим выражение $A'=T^{-1}AT.$ Ядром линейного отображения $\varphi:V\to W$ называется такое множество векторов $X\in V$ которые отображаются в нулевой вектор: $$\ker\varphi=\left\{ X\in V|\varphi(X)=0\right\} .$$ Образом $$\text{Im}\ \varphi=\varphi\left(V\right)=\left\{ \varphi(X)|X\in V\right\} .$$