Найти какую-нибудь базу системы векторов и все векторы системы, не входящие в данную базу, выразить через векторы базы: $$a_1=(5,2,-3,1),\quad a_2=(4,1,-2,3),\quad a_3=(1,1,-1,-2),\quad a_4=(3,4,-1,2).$$

Запишем векторы столбцами и приведём матрицу к ступенчатому виду преобразованиями строк — линейные зависимости между столбцами при этом сохраняются. $$\begin{pmatrix}5&4&1&3\\2&1&1&4\\-3&-2&-1&-1\\1&3&-2&2\end{pmatrix}$$ Ставим четвёртую строку первой и вычитаем её из остальных с множителями $5$, $2$, $-3$: $$\begin{pmatrix}1&3&-2&2\\0&-11&11&-7\\0&-5&5&0\\0&7&-7&5\end{pmatrix}$$ Третья строка даёт $(0,1,-1,0)$; с её помощью обнуляем второй столбец в остальных строках: $$\begin{pmatrix}1&0&1&2\\0&1&-1&0\\0&0&0&-7\\0&0&0&5\end{pmatrix}\ \longrightarrow\ \begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&-1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$ Ведущие элементы стоят в столбцах $1,2,4$ — ранг системы равен $3$, базу образуют $a_1,a_2,a_4$. Третий столбец равен (1-й столбец) $-$ (2-й столбец), поэтому $$a_3=a_1-a_2.$$ Проверка: $(5-4,\ 2-1,\ -3+2,\ 1-3)=(1,1,-1,-2)$.

Независимость $a_1,a_2,a_4$ подтверждает и минор из их первых трёх координат: $$\begin{vmatrix}5&2&-3\\4&1&-2\\3&4&-1\end{vmatrix}=5\cdot7-2\cdot2-3\cdot13=-8\ne0.$$

Замечание. База не единственна: из $a_3=a_1-a_2$ следует, что вместо $a_1,a_2,a_4$ годятся также $a_1,a_3,a_4$ и $a_2,a_3,a_4$. Вектор $a_4$ входит в любую базу.

Например, база $a_1,a_2,a_4$; $\ a_3=a_1-a_2$.