Найти все значения $\lambda$, при которых вектор $b$ линейно выражается через векторы $a_1,a_2,a_3$: $$a_1=(4,4,3),\quad a_2=(7,2,1),\quad a_3=(4,1,6),\quad b=(5,9,\lambda).$$

Определитель из координат векторов: $$\begin{vmatrix}4&4&3\\7&2&1\\4&1&6\end{vmatrix}=4(12-1)-4(42-4)+3(7-8)=44-152-3=-111\ne0.$$ Значит $a_1,a_2,a_3$ линейно независимы и образуют базис трёхмерного пространства. Любой вектор, в том числе $b$ при любом $\lambda$, выражается через них (и единственным образом): система $x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=b$ имеет ненулевой определитель и по правилу Крамера однозначно разрешима.

Сравните с задачей 665, где определитель равен нулю и подходит лишь одно значение $\lambda$.

$\lambda$ — любое число.