Контрольная пройдёт на занятии 9. Ниже — темы и примерный вариант: в настоящей контрольной задачи будут того же типа, но с другими числами.

• Считать число инверсий и определять чётность перестановки; находить знак, с которым произведение элементов входит в определитель (235, 236, 237, 248, 250).
• Вычислять определители 2-го и 3-го порядка, знать и применять свойства определителей (конспект).
• Вычислять числовые определители 4-го порядка: приведение к треугольному виду, разложение по строке или столбцу (265, 266, 267, 273, 275, 279).
• Вычислять определители порядка $n$ (294, 295, 299, 320, 321).
• Знать определитель Вандермонда (формула и доказательство, 278).
• Решать системы по правилу Крамера (400).

1. а) Найти число инверсий и определить чётность перестановки $(3,6,1,5,2,4)$.

б) С каким знаком входит в определитель 5-го порядка произведение $a_{13}a_{25}a_{31}a_{44}a_{52}$?

2. Решить уравнение $$\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}=0.$$

3. Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\2&1&0&-1\\3&-1&2&1\\-1&3&1&2\end{vmatrix}.$$

4. Вычислить определитель $$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\2&3&5&-1\\4&9&25&1\\8&27&125&-1\end{vmatrix}.$$

5. Вычислить определитель порядка $n$ $$\begin{vmatrix}3&2&2&\dots&2\\2&3&2&\dots&2\\2&2&3&\dots&2\\\vdots&&&&\vdots\\2&2&2&\dots&3\end{vmatrix}.$$

6. Решить систему по правилу Крамера: $$\begin{cases}2x+y-z=1,\\x-y+2z=7,\\3x+2y+z=6.\end{cases}$$

1. а) $8$ инверсий, перестановка чётная; б) со знаком «плюс» (в перестановке $(3,5,1,4,2)$ шесть инверсий).

2. $x=1$, $x=-2$ (определитель равен $(x-1)^2(x+2)$).

3. $90$.

4. $-432$ (определитель Вандермонда для чисел $2,3,5,-1$).

5. $2n+1$.

6. $\Delta=-10$, $\Delta_x=-20$, $\Delta_y=10$, $\Delta_z=-20$; $\ x=2$, $y=-1$, $z=2$.