Восстановим группу и выпрямим оператор:

$X=x^{2}\partial_{x}+xy\partial_{y}$

Тогда

$\frac{d\bar{x}}{da}=\bar{x}^{2}$

$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}$

При начальных условиях $\left.\bar{x}\right|_{a=0}=x,\left.\bar{y}\right|_{a=0}=y.$

$-\frac{1}{\bar{x}}=\int\frac{d\bar{x}}{\bar{x}^{2}}=\int da=a+c$

тогда

$\bar{x}=-\frac{1}{a+c}$ и $\left.\bar{x}\right|_{0}=\left.-\frac{1}{a+c}\right|_{0}=-\frac{1}{c}=x$

следовательно

$\bar{x}=\frac{x}{1-ax}$

$\frac{d\bar{y}}{da}=\bar{x}\bar{y}=\frac{x}{1-ax}\bar{y}$

тогда

$\ln\bar{y}=\int\frac{d\bar{y}}{\bar{y}}=\int\frac{xda}{1-ax}=-\ln(1-ax)+c$

и следовательно

$\bar{y}=\frac{C}{1-ax}$ при условии, что при $a=0$ выполнено $\bar{y}(0)=C=y$. Итак

$\bar{y}=\frac{y}{1-ax}$

Выпрямим оператор, тогда

$\frac{dx}{x^{2}}=\frac{dy}{xy},$ следовательно $\ln x=\int\frac{dx}{x}=\ln y+C=\int\frac{dy}{y},$ тогда

$I=\ln C=\frac{x}{y}$ — инвариант и новая переменная, а вторая переменная найдётся из уравнения

$-\frac{1}{x}=\int\frac{dx}{x^{2}}=\int\frac{dz}{1}=z$

$-\frac{1}{\bar{z}}=\bar{x}=\frac{x}{1-ax}=\frac{-\frac{1}{z}}{1-a(-\frac{1}{z})}=-\frac{1}{z+a}$

тогда, действительно, $\bar{z}=z+a$ — паралельный перенос по $z.$