Разбор контрольной работы. Ввести определители 2-го и 3-го порядка (правило треугольника) и на конкретном примере проверить все основные свойства определителя.

Определитель 2-го порядка: $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Определитель 3-го порядка по правилу треугольника (правило Саррюса): произведения элементов главной диагонали и двух «треугольников», ей параллельных, берутся со знаком $+$; для побочной диагонали — со знаком $-$: $$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$$

Возьмём рабочий пример $$\Delta=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{vmatrix}.$$ По правилу треугольника: $1\cdot1\cdot0+2\cdot4\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-1\cdot4\cdot6-2\cdot0\cdot0=0+40+0-15-24-0=1$. Итак $\Delta=1$.

1. Перестановка двух строк меняет знак. Поменяем местами строки 1 и 2: $$\begin{vmatrix}0&1&4\\1&2&3\\5&6&0\end{vmatrix}=0\cdot2\cdot0+1\cdot3\cdot5+4\cdot1\cdot6-4\cdot2\cdot5-0\cdot3\cdot6-1\cdot1\cdot0=0+15+24-40-0-0=-1=-\Delta.$$

2. Определитель с двумя равными строками равен нулю. Заменим строку 3 на строку 1: $$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\1&2&3\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot3+2\cdot4\cdot1+3\cdot0\cdot2-3\cdot1\cdot1-1\cdot4\cdot2-2\cdot0\cdot3=3+8+0-3-8-0=0.$$

3. Линейность по строке. Умножим строку 2 на $k=3$: $$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&12\\5&6&0\end{vmatrix}=1\cdot3\cdot0+2\cdot12\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot3\cdot5-1\cdot12\cdot6-2\cdot0\cdot0=0+120+0-45-72-0=3=3\Delta.$$ Общий множитель строки выносится за знак определителя.

4. Аддитивность по строке. Представим строку 2 как сумму $(0,1,4)=(0,0,1)+(0,1,3)$ и проверим, что $$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&0&1\\5&6&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&3\\5&6&0\end{vmatrix}=\Delta.$$ Первый: $1\cdot0\cdot0+2\cdot1\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot0\cdot5-1\cdot1\cdot6-2\cdot0\cdot0=0+10+0-0-6-0=4$. Второй: $1\cdot1\cdot0+2\cdot3\cdot5+3\cdot0\cdot6-3\cdot1\cdot5-1\cdot3\cdot6-2\cdot0\cdot0=0+30+0-15-18-0=-3$. Сумма $4+(-3)=1=\Delta$ — совпадает.

5. Прибавление к строке линейной комбинации других строк не меняет определитель. Прибавим к строке 3 строку 1, умноженную на $-5$ (обнулим первый элемент строки 3): новая строка 3 $=(5,6,0)-5(1,2,3)=(0,-4,-15)$. $$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&-4&-15\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot(-15)+2\cdot4\cdot0+3\cdot0\cdot(-4)-3\cdot1\cdot0-1\cdot4\cdot(-4)-2\cdot0\cdot(-15)=-15+0+0-0+16-0=1=\Delta.$$

6. Определитель транспонированной матрицы равен исходному. $$\begin{vmatrix}1&0&5\\2&1&6\\3&4&0\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot0+0\cdot6\cdot3+5\cdot2\cdot4-5\cdot1\cdot3-1\cdot6\cdot4-0\cdot2\cdot0=0+0+40-15-24-0=1=\Delta.$$

7. Определитель с пропорциональными строками равен нулю (частный случай свойства 2): если строка 3 пропорциональна строке 1, скажем $(2,4,6)=2\cdot(1,2,3)$: $$\begin{vmatrix}1&2&3\\0&1&4\\2&4&6\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot6+2\cdot4\cdot2+3\cdot0\cdot4-3\cdot1\cdot2-1\cdot4\cdot4-2\cdot0\cdot6=6+16+0-6-16-0=0.$$

На одном числовом примере проверены все базовые свойства определителя: антисимметричность при перестановке строк, зануление при равных/пропорциональных строках, линейность (однородность и аддитивность) по строке, инвариантность при прибавлении линейной комбинации других строк и при транспонировании. Эти свойства — основа последующего вычисления определителей произвольного порядка методом приведения к треугольному виду (Занятие 6).