Это старая версия документа!

\textbf{Задача 976.} Написать уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку \( (1, -2, 1) \), осью которого служит прямая \[\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{-2}.\]

\textbf{Решение.} Ось цилиндра задана каноническими уравнениями, поэтому направляющий вектор прямой \(\vec{s} = (1, 2, -2)\) и точка на прямой \(A(0, 1, -3)\). Радиус цилиндра равен расстоянию от точки \(M_0(1, -2, 1)\) до этой прямой. Вычислим это расстояние: \[\overrightarrow{AM_0} = (1, -3, 4),\] \[\overrightarrow{AM_0} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2,\; 6,\; 5),\] \[|\overrightarrow{AM_0} \times \vec{s}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{65},\quad |\vec{s}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3.\] Следовательно, радиус \(R = \dfrac{\sqrt{65}}{3}\).

Для произвольной точки \(M(x, y, z)\) на цилиндре расстояние до оси также равно \(R\). Условие: \[\frac{|\overrightarrow{AM} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} = R \quad \Rightarrow \quad |\overrightarrow{AM} \times \vec{s}|^2 = R^2 |\vec{s}|^2 = \frac{65}{9} \cdot 9 = 65.\] Вектор \(\overrightarrow{AM} = (x,\; y-1,\; z+3)\). Вычисляем векторное произведение: \[\overrightarrow{AM} \times \vec{s} = \begin{pmatrix} (y-1)(-2) - (z+3)\cdot 2 \\ (z+3)\cdot 1 - x\cdot(-2) \\ x\cdot 2 - (y-1)\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2y-2z-4 \\ 2x+z+3 \\ 2x - y + 1 \end{pmatrix}.\] Квадрат его длины: \[(-2y-2z-4)^2 + (2x+z+3)^2 + (2x - y + 1)^2 = 65.\] Это и есть искомое уравнение круглого цилиндра. Проверка: подстановка координат точки \( (1, -2, 1) \) даёт \( (-2)^2 + 6^2 + 5^2 = 4+36+25=65\), что подтверждает правильность.

\textbf{Ответ:} \((-2y-2z-4)^2 + (2x+z+3)^2 + (2x - y + 1)^2 = 65\).