Задача 798

Условие: Составить каноническое уравнение гиперболы, если дано ее уравнение в полярных координатах $$\rho = \frac{9}{4 - 5\cos\varphi}.$$

Решение:

Перейдем от полярных координат к декартовым, используя формулы: $$x = \rho \cos\varphi,\quad y = \rho \sin\varphi,\quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \cos\varphi = \frac{x}{\rho}.$$

Подставим выражение для $\rho$ в данное уравнение: $$\rho = \frac{9}{4 - 5\cos\varphi} \quad \Rightarrow \quad \rho(4 - 5\cos\varphi) = 9.$$ Заменяем $\cos\varphi$: $$4\rho - 5\rho\cos\varphi = 9 \quad \Rightarrow \quad 4\sqrt{x^2 + y^2} - 5x = 9.$$

Переносим $5x$ вправо и возводим в квадрат: $$4\sqrt{x^2 + y^2} = 5x + 9,$$ $$16(x^2 + y^2) = (5x + 9)^2 = 25x^2 + 90x + 81.$$

Раскрываем скобки: $$16x^2 + 16y^2 = 25x^2 + 90x + 81.$$ Переносим все в левую часть: $$16x^2 + 16y^2 - 25x^2 - 90x - 81 = 0,$$ $$-9x^2 + 16y^2 - 90x - 81 = 0.$$ Умножим на $-1$ для удобства: $$9x^2 - 16y^2 + 90x + 81 = 0.$$

Группируем члены с $x$: $$9(x^2 + 10x) - 16y^2 + 81 = 0.$$ Дополняем выражение в скобках до полного квадрата: $x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25$. Тогда: $$9[(x + 5)^2 - 25] - 16y^2 + 81 = 0,$$ $$9(x + 5)^2 - 225 - 16y^2 + 81 = 0,$$ $$9(x + 5)^2 - 16y^2 - 144 = 0.$$ Переносим свободный член вправо: $$9(x + 5)^2 - 16y^2 = 144.$$ Делим обе части на 144: $$\frac{9(x + 5)^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = 1,$$ $$\frac{(x + 5)^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1.$$

Полученное уравнение является каноническим уравнением гиперболы с центром в точке $(-5, 0)$, полуосями $a = 4$, $b = 3$ и эксцентриситетом $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{16+9}}{4} = \frac{5}{4}$, что соответствует заданному уравнению в полярных координатах (фокус гиперболы находится в полюсе $(0,0)$).

Ответ: $$\boxed{\frac{(x+5)^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}.$$