Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух окружностей: \[ x^2 + y^2 + 2x - 3 = 0,\qquad x^2 + y^2 - 10x - 39 = 0. \]

1. Приведём уравнения окружностей к каноническому виду. Первая окружность: \[ x^2 + 2x + y^2 = 3 \;\Rightarrow\; (x+1)^2 + y^2 = 4, \] центр \(C_1(-1,0)\), радиус \(r_1 = 2\). Вторая окружность: \[ x^2 -10x + y^2 = 39 \;\Rightarrow\; (x-5)^2 + y^2 = 64, \] центр \(C_2(5,0)\), радиус \(r_2 = 8\). Расстояние между центрами \(d = |C_1C_2| = 6 = r_2 - r_1\), поэтому окружности касаются внутренним образом в точке \((-3,0)\).

2. Пусть искомая окружность имеет центр \(P(x,y)\) и радиус \(R\). Условия касания: - с первой окружностью:

внешнее касание: \(PC_1 = R + r_1\),  
внутреннее касание: \(PC_1 = |R - r_1|\);  

- со второй окружностью:

внешнее касание: \(PC_2 = R + r_2\),  
внутреннее касание: \(PC_2 = |R - r_2|\).

Рассмотрим все возможные комбинации типов касания.

3. Комбинация «внешнее–внешнее» (EE). \[ PC_1 = R+2,\quad PC_2 = R+8 \;\Rightarrow\; PC_2 - PC_1 = 6. \] Так как \(|PC_2-PC_1| \le C_1C_2 = 6\), равенство достигается только на луче от \(C_1\) в сторону, противоположную \(C_2\): \[ y = 0,\; x \le -1. \] При этом \(R = PC_1-2\). Точка \(x = -1\) (\(P = C_1\)) даёт окружность \(R=2\) – данную малую окружность.

4. Комбинация «внутреннее–внутреннее» (II). Здесь возможны два случая.

*Случай 4а: \(R > r_2\) (переменная окружность содержит обе данные).* \[ PC_1 = R-2,\quad PC_2 = R-8 \;\Rightarrow\; PC_1 - PC_2 = 6. \] Этот луч: \(y=0,\; x \ge 5\) (\(P\) правее \(C_2\)). При \(x=5\) (\(P=C_2\)) получаем \(R=8\) – данную большую окружность.

*Случай 4б: \(R < r_1\) (переменная окружность лежит внутри обеих данных).* \[ PC_1 = 2-R,\quad PC_2 = 8-R \;\Rightarrow\; PC_2 - PC_1 = 6. \] Тот же луч, что в EE, но с дополнительным условием \(PC_1 < 2\) (иначе \(R\) отрицателен). Это даёт отрезок \(x \in [-3,-1]\) на луче \(x \le -1\). Вместе с EE получается весь луч \(x \le -1\).

5. Комбинация «внешнее–внутреннее» (EI). \[ PC_1 = R+2,\quad PC_2 = |R-8|. \] При \(R > 8\) получаем \(PC_1 - PC_2 = 10 > 2c\) – невозможно. При \(R < 8\): \(PC_2 = 8-R\), тогда \[ PC_1 + PC_2 = (R+2)+(8-R)=10. \] Условия: \(R = PC_1-2 > 0 \Rightarrow PC_1 > 2\) и \(R = 8-PC_2 > 0 \Rightarrow PC_2 < 8\).

6. Комбинация «внутреннее–внешнее» (IE). \[ PC_2 = R+8,\quad PC_1 = |R-2|. \] При \(R > 2\): \(PC_2 - PC_1 = 10\) – невозможно. При \(R < 2\): \(PC_1 = 2-R\), тогда \[ PC_1 + PC_2 = (2-R)+(R+8)=10. \] Условия: \(PC_1 < 2,\; PC_2 > 8\).

7. Объединение случаев EI и IE. Оба приводят к одному и тому же уравнению \[ PC_1 + PC_2 = 10. \] Это эллипс с фокусами \(C_1(-1,0), C_2(5,0)\), большой полуосью \(a = 5\) (так как \(2a = 10\)) и \(c = 3\), \(b = \sqrt{a^2-c^2}=4\). Его каноническое уравнение после упрощения: \[ \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1. \] Точки эллипса с \(PC_1 > 2,\; PC_2 < 8\) соответствуют EI (внешнее к малой, внутреннее к большой), точки с \(PC_1 < 2,\; PC_2 > 8\) – IE (внутреннее к малой, внешнее к большой). На эллипсе лежат также две точки пересечения с рассмотренными лучами: \((-3,0)\) и \((7,0)\).

8. Окончательное геометрическое место. Таким образом, центры всех окружностей, касающихся двух данных, заполняют: - эллипс \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\); - левый луч: \(y = 0,\; x \le -1\) (включая \(C_1\)); - правый луч: \(y = 0,\; x \ge 5\) (включая \(C_2\)).

Точки \((-3,0)\) и \((7,0)\) принадлежат одновременно эллипсу и соответствующему лучу.

Ответ: \[ \boxed{\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1} \quad\text{и}\quad \boxed{y=0,\; x\le -1} \quad\text{и}\quad \boxed{y=0,\; x\ge 5}. \]