Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты \((1, 0)\) и \((0, 1)\) и большая ось равна \(2\).

1. Параметры эллипса. Длина большой оси \(2a = 2 \;\Rightarrow\; a = 1\). Центр эллипса \(C\) — середина отрезка между фокусами: \[ C\left( \frac{1+0}{2},\; \frac{0+1}{2} \right) = (0,5;\;0,5). \] Расстояние между фокусами \(2c = \sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2} = \sqrt{2}\), поэтому \[ c = \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad b^2 = a^2 - c^2 = 1 - \frac12 = \frac12,\quad b = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

2. Ориентация осей. Линия фокусов определяет направление большой оси. Вектор \(\overrightarrow{F_1F_2} = (1,-1)\) соответствует углу наклона \(-45^\circ\) к оси \(Ox\). Единичный вектор большой оси: \(\mathbf{e}_1 = \left(\frac{1}{\sqrt2},\,-\frac{1}{\sqrt2}\right)\). Единичный вектор малой оси (перпендикулярной): \(\mathbf{e}_2 = \left(\frac{1}{\sqrt2},\,\frac{1}{\sqrt2}\right)\).

3. Уравнение в повернутой системе координат. Преобразование к осям эллипса (\(X'\) – вдоль большой оси, \(Y'\) – вдоль малой): \[ X' = (x-0,5)\frac{1}{\sqrt2} + (y-0,5)\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{x-y}{\sqrt2}, \] \[ Y' = -(x-0,5)\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right) + (y-0,5)\frac{1}{\sqrt2} = \frac{x+y-1}{\sqrt2}. \] Эллипс: \(\dfrac{X'^2}{a^2} + \dfrac{Y'^2}{b^2} = 1\). Подставляем \(a=1,\; b^2=\frac12\): \[ \frac{(x-y)^2/2}{1} + \frac{(x+y-1)^2/2}{1/2} = \frac{(x-y)^2}{2} + (x+y-1)^2 = 1. \] Умножаем на 2: \[ (x-y)^2 + 2(x+y-1)^2 = 2. \]

4. Общее уравнение линии. Раскрываем скобки: \[ x^2 -2xy + y^2 + 2(x^2+2xy+y^2-2x-2y+1) = 2, \] \[ x^2 -2xy + y^2 + 2x^2+4xy+2y^2-4x-4y+2 = 2, \] \[ 3x^2 + 2xy + 3y^2 -4x -4y = 0. \]

Ответ: Уравнение эллипса можно записать в одной из форм: \[ \boxed{3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0} \] или \[ \boxed{(x-y)^2 + 2(x+y-1)^2 = 2}. \]