Написать уравнение равносторонней гиперболы, для которой ось \(Ox\) служит асимптотой, а точка \((1, 1)\) — вершиной.

Равносторонняя (равнобочная) гипербола имеет взаимно перпендикулярные асимптоты. Если одна из асимптот — ось \(Ox\) (\(y = 0\)), то вторая асимптота — вертикальная прямая \(x = h\) (\(h\) — постоянная). Центр гиперболы находится в точке пересечения асимптот: \((h, 0)\). Уравнение такой гиперболы можно записать в виде \[ (x - h)\,y = k, \] где \(k\) — ненулевая постоянная.

Гипербола проходит через вершину \((1, 1)\). Подставляем координаты: \[ (1 - h)\cdot 1 = k \quad \Rightarrow \quad k = 1 - h. \]

Для равносторонней гиперболы, заданной уравнением \((x - h)y = k\), вершины расположены на прямых \(y = \pm (x - h)\) и удовлетворяют условию \(|x - h| = |y| = \sqrt{|k|}\). Так как \((1, 1)\) — вершина, то \[ |1 - h| = 1, \qquad |k| = 1. \] Из \(|1 - h| = 1\) получаем \(h = 0\) или \(h = 2\).

1. Случай \(h = 0\). Тогда \(k = 1 - 0 = 1\), уравнение гиперболы: \[ (x - 0)\,y = 1 \quad \Rightarrow \quad xy = 1. \] Асимптоты: \(x = 0\) (ось \(Oy\)) и \(y = 0\) (ось \(Ox\)). Вершина \((1, 1)\) действительно лежит на гиперболе и является вершиной.

2. Случай \(h = 2\). Тогда \(k = 1 - 2 = -1\), уравнение гиперболы: \[ (x - 2)\,y = -1 \quad \Rightarrow \quad xy - 2y + 1 = 0. \] Асимптоты: \(x = 2\) и \(y = 0\) (ось \(Ox\)). Вершина \((1, 1)\) лежит на гиперболе и является вершиной.

Оба уравнения удовлетворяют условию задачи.

Ответ: \[ \boxed{xy = 1} \quad \text{и} \quad \boxed{xy - 2y + 1 = 0}. \]