Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку \((1, 2)\), асимптотами которой служат прямые \(y = \pm \frac{1}{2}x\).

Асимптоты пересекаются в начале координат, следовательно, центр гиперболы находится в точке \((0,0)\).

Возможны два случая ориентации гиперболы:

1) Гипербола с горизонтальной осью: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), асимптоты \(y = \pm \dfrac{b}{a}x\). Тогда \(\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(b = \dfrac{a}{2}\). Уравнение: \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{4y^2}{a^2} = 1\) \(\Rightarrow\) \(x^2 - 4y^2 = a^2\). Подставляем точку \((1,2)\): \(1 - 16 = -15 = a^2\) — не подходит (отрицательное).

2) Гипербола с вертикальной осью: \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1\), асимптоты \(y = \pm \dfrac{a}{b}x\). Тогда \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(b = 2a\). Уравнение: \(\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{4a^2} = 1\) \(\Rightarrow\) \(4y^2 - x^2 = 4a^2\). Подставляем точку \((1,2)\): \(4\cdot4 - 1 = 15 = 4a^2\) \(\Rightarrow\) \(a^2 = \dfrac{15}{4}\), \(b^2 = 4a^2 = 15\). Уравнение: \(\dfrac{y^2}{15/4} - \dfrac{x^2}{15} = 1\) или \(4y^2 - x^2 = 15\).

Ответ: \[ \boxed{4y^2 - x^2 = 15} \] или в канонической форме \[ \boxed{\dfrac{y^2}{15/4} - \dfrac{x^2}{15} = 1}. \]