Даны уравнения координатных плоскостей новой прямоугольной системы координат: \[ \begin{aligned} & x + y + z - 1 = 0 \quad (O'y'z'),\\ & 2x - y - z + 1 = 0 \quad (O'z'x'),\\ & y - z + 2 = 0 \quad (O'x'y'). \end{aligned} \]

Нормальные векторы плоскостей: \[ \mathbf{n}_1 = (1,1,1),\quad \mathbf{n}_2 = (2,-1,-1),\quad \mathbf{n}_3 = (0,1,-1). \] Вычисляем скалярные произведения: \[ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot2 + 1\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 2 - 1 - 1 = 0, \] \[ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_3 = 1\cdot0 + 1\cdot1 + 1\cdot(-1) = 0 + 1 - 1 = 0, \] \[ \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{n}_3 = 2\cdot0 + (-1)\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 + 1 = 0. \] Таким образом, плоскости попарно перпендикулярны, значит, новая система координат прямоугольная.

Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y + z = 1,\\ 2x - y - z = -1,\\ y - z = -2. \end{cases} \] Из третьего: \(y = z - 2\). Подставляем в первое и второе: \[ x + (z-2) + z = 1 \Rightarrow x + 2z = 3, \] \[ 2x - (z-2) - z = -1 \Rightarrow 2x - 2z + 2 = -1 \Rightarrow 2x - 2z = -3 \Rightarrow x - z = -\frac{3}{2}. \] Из системы \(x + 2z = 3\) и \(x - z = -1.5\) вычитаем второе из первого: \(3z = 4.5 \Rightarrow z = 1.5\). Тогда \(x = -1.5 + 1.5 = 0\), \(y = 1.5 - 2 = -0.5\). Итак, \[ O' = \left(0,\; -0.5,\; 1.5\right). \]

Для прямоугольной системы новые координаты точки \(M(x,y,z)\) равны проекциям вектора \(\overrightarrow{O'M}\) на направления осей, которые задаются единичными нормалями к координатным плоскостям. При этом знаки выбираются так, чтобы точка \(P(-1,-1,-1)\) имела положительные координаты в новой системе.

Вычислим значения линейных форм для точки \(P\): \[ L_1 = x + y + z - 1 = -1 -1 -1 -1 = -4, \] \[ L_2 = 2x - y - z + 1 = -2 +1 +1 +1 = 1, \] \[ L_3 = y - z + 2 = -1 +1 +2 = 2. \] Чтобы координаты были положительными, для \(L_1\) нужно взять противоположный знак.

Длины нормалей: \[ |\mathbf{n}_1| = \sqrt{3},\quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{6},\quad |\mathbf{n}_3| = \sqrt{2}. \]

Таким образом, искомые формулы: \[ \boxed{ \begin{aligned} x' &= -\frac{x + y + z - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1 - x - y - z}{\sqrt{3}},\\[4pt] y' &= \frac{2x - y - z + 1}{\sqrt{6}},\\[4pt] z' &= \frac{y - z + 2}{\sqrt{2}}. \end{aligned}} \]