Даны уравнения координатных плоскостей новой прямоугольной системы координат: \[ \begin{aligned} & x + 2y + 5z + 1 = 0 \quad (O'y'z'),\\ & 2x - y + 2 = 0 \quad (O'z'x'),\\ & x + 2y - z - 3 = 0 \quad (O'x'y'). \end{aligned} \]

Нормальные векторы плоскостей: \[ \mathbf{n}_1 = (1,2,5),\quad \mathbf{n}_2 = (2,-1,0),\quad \mathbf{n}_3 = (1,2,-1). \] Вычислим скалярные произведения: \[ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 5\cdot0 = 2 - 2 = 0, \] \[ \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_3 = 1\cdot1 + 2\cdot2 + 5\cdot(-1) = 1 + 4 - 5 = 0, \] \[ \mathbf{n}_2\cdot\mathbf{n}_3 = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 0\cdot(-1) = 2 - 2 = 0. \] Таким образом, плоскости попарно перпендикулярны, следовательно, новая система координат прямоугольная.

Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} x + 2y + 5z + 1 = 0,\\ 2x - y + 2 = 0,\\ x + 2y - z - 3 = 0. \end{cases} \] Из второго уравнения: \(y = 2x + 2\). Подставляем в первое и третье: \[ x + 2(2x+2) + 5z + 1 = x + 4x + 4 + 5z + 1 = 5x + 5z + 5 = 0 \;\Rightarrow\; x + z + 1 = 0 \;\Rightarrow\; z = -x - 1, \] \[ x + 2(2x+2) - z - 3 = x + 4x + 4 - z - 3 = 5x + 1 - z = 0. \] Подставляем \(z\): \(5x + 1 - (-x-1) = 5x + 1 + x + 1 = 6x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{1}{3}\). Тогда \[ z = -(-\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3},\quad y = 2\cdot(-\frac{1}{3}) + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}. \] Итак, \(O' = \left(-\dfrac{1}{3},\; \dfrac{4}{3},\; -\dfrac{2}{3}\right)\).

Для прямоугольной системы координат новые координаты точки \(M(x,y,z)\) равны проекциям вектора \(\overrightarrow{O'M}\) на направления осей, которые задаются единичными нормалями к координатным плоскостям. При этом знаки выбираются так, чтобы начало \(O(0,0,0)\) имело положительные координаты в новой системе.

Вычислим длины нормалей: \[ |\mathbf{n}_1| = \sqrt{1^2+2^2+5^2} = \sqrt{30},\quad |\mathbf{n}_2| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5},\quad |\mathbf{n}_3| = \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} = \sqrt{6}. \]

Линейные формы, соответствующие плоскостям: \[ L_1 = x + 2y + 5z + 1,\quad L_2 = 2x - y + 2,\quad L_3 = x + 2y - z - 3. \] Для точки \(O'\) они равны нулю. Для начала \(O\): \[ L_1(O) = 1,\quad L_2(O) = 2,\quad L_3(O) = -3. \] Чтобы координаты \(O\) были положительными, нужно для \(L_3\) взять форму с противоположным знаком. Таким образом, новые координаты: \[ x' = \frac{L_1}{|\mathbf{n}_1|} = \frac{x + 2y + 5z + 1}{\sqrt{30}},\quad y' = \frac{L_2}{|\mathbf{n}_2|} = \frac{2x - y + 2}{\sqrt{5}},\quad z' = -\frac{L_3}{|\mathbf{n}_3|} = -\frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{6}} = \frac{-x - 2y + z + 3}{\sqrt{6}}. \]

Можно проверить, что матрица перехода ортогональна: строки коэффициентов при \((x,y,z)\) образуют ортонормированный базис.

\[ \boxed{ \begin{aligned} x' &= \frac{x + 2y + 5z + 1}{\sqrt{30}},\\[4pt] y' &= \frac{2x - y + 2}{\sqrt{5}},\\[4pt] z' &= -\frac{x + 2y - z - 3}{\sqrt{6}} = \frac{-x - 2y + z + 3}{\sqrt{6}}. \end{aligned}} \]