673. Даны две системы координат \(Oxyz\) и \(O'x'y'z'\). По отношению к первой системе начало второй находится в точке \(O' = (2, 1, 3)\), а базисные векторы второй системы суть \(\vec{e}'_1 = \{2, 4, 1\}\), \(\vec{e}'_2 = \{0, 4, 4\}\), \(\vec{e}'_3 = \{1, 1, 0\}\).

1) Написать выражения координат точек относительно первой системы через их координаты во второй системе. 2) Выразить координаты точек относительно второй системы через их координаты в первой системе. 3) Найти координаты начала \(O\) и координаты базисных векторов \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\), \(\vec{e}_3\) первой системы относительно второй.

Решение. Пусть точка \(M\) имеет координаты \((x, y, z)\) в первой системе и \((x', y', z')\) во второй. Тогда \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + x'\vec{e}'_1 + y'\vec{e}'_2 + z'\vec{e}'_3. \] В координатах первой системы: \[ \begin{cases} x = 2 + 2x' + 0\cdot y' + 1\cdot z', \\ y = 1 + 4x' + 4y' + 1\cdot z', \\ z = 3 + 1\cdot x' + 4y' + 0\cdot z'. \end{cases} \] Таким образом, \[ \boxed{\begin{cases} x = 2 + 2x' + z', \\ y = 1 + 4x' + 4y' + z', \\ z = 3 + x' + 4y'. \end{cases}} \]

2) Выразим \((x', y', z')\) через \((x, y, z)\). Из предыдущей системы: \[ \begin{cases} 2x' + z' = x - 2, \\ 4x' + 4y' + z' = y - 1, \\ x' + 4y' = z - 3. \end{cases} \] Решая, получаем: \[ \begin{aligned} y' &= \frac{x + 2z - y - 7}{4},\\ x' &= -x + y - z + 4,\\ z' &= 3x - 2y + 2z - 10. \end{aligned} \] Проверка подстановкой убеждает в правильности. Итак, \[ \boxed{\begin{cases} x' = -x + y - z + 4,\\[4pt] y' = \dfrac{x + 2z - y - 7}{4},\\[8pt] z' = 3x - 2y + 2z - 10. \end{cases}} \]

3) Начало первой системы \(O\) имеет координаты \((0,0,0)\) в первой системе. Подставляя в формулы пункта 2: \[ x' = 4,\quad y' = -\frac{7}{4},\quad z' = -10. \] Следовательно, \(O\) во второй системе: \(\boxed{\left(4,\; -\dfrac{7}{4},\; -10\right)}\).

Базисные векторы первой системы (стандартные орты) в первой системе: \(\vec{e}_1 = (1,0,0),\;\vec{e}_2 = (0,1,0),\;\vec{e}_3 = (0,0,1)\). Их координаты во второй системе находим аналогично: \[ \begin{aligned} \vec{e}_1 &: \quad x' = -1 + 0 - 0 + 4 = 3,\quad y' = \frac{1 + 0 - 0 - 7}{4} = -\frac{3}{2},\quad z' = 3\cdot1 - 0 + 0 - 10 = -7,\\ \vec{e}_2 &: \quad x' = 5,\quad y' = \frac{0 + 0 - 1 - 7}{4} = -2,\quad z' = 0 - 2 + 0 - 10 = -12,\\ \vec{e}_3 &: \quad x' = 3,\quad y' = \frac{0 + 2\cdot1 - 0 - 7}{4} = -\frac{5}{4},\quad z' = 0 - 0 + 2 - 10 = -8. \end{aligned} \] Таким образом, \[ \boxed{\begin{aligned} \vec{e}_1 &\text{ во второй системе: } \left(3,\; -\frac{3}{2},\; -7\right),\\ \vec{e}_2 &\text{ во второй системе: } \left(5,\; -2,\; -12\right),\\ \vec{e}_3 &\text{ во второй системе: } \left(3,\; -\frac{5}{4},\; -8\right). \end{aligned}} \]