Написать уравнение прямой $x - y - 5 = 0$ в системе координат, осями которой служат прямые $$2x - y + 7 = 0 \quad (\text{ось } O'y'), \qquad x + y - 4 = 0 \quad (\text{ось } O'x').$$

Найдём точку пересечения осей – новое начало координат $O'$: \[ \begin{cases} x + y - 4 = 0,\\ 2x - y + 7 = 0. \end{cases} \] Сложим уравнения: $3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1$. Из первого уравнения: $-1 + y - 4 = 0 \Rightarrow y = 5$. Таким образом, $O' = (-1, 5)$.

Выберем направляющие векторы для осей: - Для оси $O'x'$ (прямая $x + y - 4 = 0$) возьмём вектор $\mathbf{e}_{x'} = (1, -1)$, так как он перпендикулярен нормали $(1,1)$ и лежит на прямой. - Для оси $O'y'$ (прямая $2x - y + 7 = 0$) возьмём вектор $\mathbf{e}_{y'} = (1, 2)$, перпендикулярный нормали $(2,-1)$.

Тогда старые координаты $(x, y)$ выражаются через новые $(x', y')$ (обозначим их $u$, $v$) следующим образом: \[ \begin{cases} x = -1 + u \cdot 1 + v \cdot 1 = -1 + u + v,\\ y = 5 + u \cdot (-1) + v \cdot 2 = 5 - u + 2v. \end{cases} \]

Подставим эти выражения в уравнение прямой $x - y - 5 = 0$: \[ (-1 + u + v) - (5 - u + 2v) - 5 = 0. \] Раскрываем скобки: \[ -1 + u + v - 5 + u - 2v - 5 = 0, \] \[ 2u - v - 11 = 0. \]

Уравнение прямой в новой системе координат: \[ \boxed{2x' - y' - 11 = 0}, \] где $x'$ и $y'$ – координаты в системе с осями, заданными прямыми $x + y - 4 = 0$ и $2x - y + 7 = 0$ соответственно.

Примечание: если выбрать другие направляющие векторы (например, кратные), уравнение изменится, так как масштаб по осям не задан. Данный ответ соответствует естественному выбору векторов $(1,-1)$ и $(1,2)$.