662. В треугольнике \(OAB\) проведены медианы \(AD\) и \(BE\), пересекающиеся в точке \(O'\). Выразить координаты \(x\) и \(y\) произвольной точки относительно системы с началом в точке \(O\) и базисными векторами \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) через ее координаты \(x', y'\) в системе с началом \(O'\) и базисными векторами \(\overrightarrow{O'A}\) и \(\overrightarrow{O'B}\).

Решение. В первой системе координат \(O\) — начало, базисные векторы \(\vec{e}_1 = \overrightarrow{OA}\), \(\vec{e}_2 = \overrightarrow{OB}\). Тогда вершины имеют координаты: \(O(0,0)\), \(A(1,0)\), \(B(0,1)\). Центроид \(O'\) (точка пересечения медиан) находится по формуле: \[ O' = \frac{O + A + B}{3} = \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right). \] Векторы нового базиса: \[ \overrightarrow{O'A} = A - O' = \left(1-\frac{1}{3},\;0-\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right),\quad \overrightarrow{O'B} = B - O' = \left(0-\frac{1}{3},\;1-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right). \] Для произвольной точки \(M\) с координатами \((x,y)\) в первой системе и \((x',y')\) во второй имеем: \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'M}. \] Здесь \(\overrightarrow{OO'} = \left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\), а \(\overrightarrow{O'M} = x'\overrightarrow{O'A} + y'\overrightarrow{O'B} = \left(\frac{2x' - y'}{3},\;\frac{-x' + 2y'}{3}\right)\). Складывая, получаем: \[ \begin{cases} x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2x' - y'}{3} = \dfrac{1 + 2x' - y'}{3},\\[6pt] y = \dfrac{1}{3} + \dfrac{-x' + 2y'}{3} = \dfrac{1 - x' + 2y'}{3}. \end{cases} \]

Ответ: \[ \boxed{\begin{cases} x = \dfrac{1 + 2x' - y'}{3},\\[8pt] y = \dfrac{1 - x' + 2y'}{3}. \end{cases}} \]