Разложить на простейшие дроби над полем $\mathbb R$:

a) $\dfrac1{x^3-1}$; b) $\dfrac{x^2}{x^4-16}$; c) $\dfrac1{x^4+4}$; d) $\dfrac{x^2}{x^6+27}$; e) $\dfrac{x^m}{x^{2n+1}-1},\ m<2n+1$; f) $\dfrac{x^m}{x^{2n+1}+1},\ m<2n+1$.

Над $\mathbb R$ каждой паре сопряжённых комплексных полюсов отвечает один вещественный квадратный (неприводимый) множитель, и дробь с таким знаменателем берётся в виде $(Ax+B)/(x^2+px+q)$.

а) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$. Из $1=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)$: при $x=1$, $A=1/3$; сравнение коэффициентов даёт $B=-1/3$, $C=-2/3$. $$\frac1{x^3-1}=\frac{1/3}{x-1}-\frac{(x+2)/3}{x^2+x+1}.$$

b) $x^4-16=(x-2)(x+2)(x^2+4)$. Простые полюсы: $A=\dfrac{4}{4\cdot8}=\dfrac18$, $B=\dfrac4{(-4)\cdot8}=-\dfrac18$. Остаток $\dfrac{x^2}{x^4-16}-\dfrac{1/8}{x-2}+\dfrac{1/8}{x+2}=\dfrac{1/2}{x^2+4}$ (проверяется приведением к общему знаменателю), так что $$\frac{x^2}{x^4-16}=\frac{1/8}{x-2}-\frac{1/8}{x+2}+\frac{1/2}{x^2+4}.$$

c) $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. Из $1=(Ax+B)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x^2-2x+2)$ сравнением коэффициентов ($x^3,x^2,x^1,x^0$) получаем $A=-1/8,\ B=1/4,\ C=1/8,\ D=1/4$: $$\frac1{x^4+4}=\frac{(2-x)/8}{x^2-2x+2}+\frac{(x+2)/8}{x^2+2x+2}.$$

d) $x^6+27=(x^2+3)(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)$ (см. 590б). Из симметрии $x\to-x$ числитель $x^2$ чётен, поэтому в разложении нет линейных членов над $x^2+3$ и коэффициенты при $x^2\mp3x+3$ равны друг другу. Решение системы даёт $$\frac{x^2}{x^6+27}=-\frac{1/9}{x^2+3}+\frac{1/18}{x^2-3x+3}+\frac{1/18}{x^2+3x+3}.$$ (Проверка при $x=0$: $0=-\frac1{27}+\frac1{54}+\frac1{54}=0$ ✓; при $x=1$: $\frac1{28}=-\frac1{36}+\frac1{18}+\frac1{126}$ ✓.)

e), f) Общий случай (нечётная степень $N=2n+1$, полюсы — корни $N$-й степени из $\pm1$). Пусть $f(x)=x^N\mp1$, тогда вычет $x^m/f(x)$ в простом полюсе $r$ равен $r^{m+1-N}/N\cdot(\pm1)^{...}$; для сопряжённой пары $r=e^{i\theta},\bar r$ сумма вычетов равна вещественной дроби $$\frac{2\bigl[\cos((m+1)\theta)\,x-\cos(m\theta)\bigr]}{N\bigl(x^2-2\cos\theta\,x+1\bigr)}.$$

e) Корни $x^{2n+1}-1$: $\varepsilon_0=1$ и пары $e^{\pm i\theta_k}$, $\theta_k=\dfrac{2\pi k}{2n+1}$, $k=1,\dots,n$. Вклад $\varepsilon_0$: $\dfrac1{(2n+1)(x-1)}$. $$\frac{x^m}{x^{2n+1}-1}=\frac1{(2n+1)(x-1)}+\frac2{2n+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{\cos\bigl((m+1)\theta_k\bigr)x-\cos(m\theta_k)}{x^2-2\cos\theta_k\,x+1},\quad \theta_k=\frac{2\pi k}{2n+1}.$$

f) Корни $x^{2n+1}+1$: вещественный корень $-1$ и пары $e^{\pm i\theta_k}$, $\theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n+1}$, $k=0,\dots,n-1$. Вклад корня $-1$: $\dfrac{(-1)^m}{(2n+1)(x+1)}$, а знак у остальных членов меняется на противоположный по сравнению с (e): $$\frac{x^m}{x^{2n+1}+1}=\frac{(-1)^m}{(2n+1)(x+1)}-\frac2{2n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\cos\bigl((m+1)\theta_k\bigr)x-\cos(m\theta_k)}{x^2-2\cos\theta_k\,x+1},\quad \theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n+1}.$$

См. формулы в каждом пункте решения.