Разложить на простейшие дроби над полем $\mathbb C$:

a) $\dfrac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+3)}$; b) $\dfrac1{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}$; c) $\dfrac{3+x}{(x-1)(x^2+1)}$; d) $\dfrac{x^2}{x^4-1}$; e) $\dfrac1{x^3-1}$;

f) $\dfrac1{x^4+4}$; g) $\dfrac1{x^n-1}$; h) $\dfrac1{x^n+1}$; i) $\dfrac{n!}{x(x-1)(x-2)\dots(x-n)}$; j) $\dfrac{(2n)!}{x(x^2-1)(x^2-4)\dots(x^2-n^2)}$; k) $\dfrac1{\cos(n\arccos x)}$.

Всюду используется, что для дроби с простыми полюсами $\dfrac{N(x)}{\prod(x-x_k)}$ коэффициент при $\dfrac1{x-x_k}$ равен $\dfrac{N(x_k)}{f'(x_k)}$, где $f$ — знаменатель.

а) $A=\dfrac{1}{(1+2)(1+3)}=\dfrac1{12}$, $B=\dfrac4{(-3)(1)}=-\dfrac43$, $C=\dfrac9{(-4)(-1)}=\dfrac94$. $$\frac{x^2}{(x-1)(x+2)(x+3)}=\frac{1/12}{x-1}-\frac{4/3}{x+2}+\frac{9/4}{x+3}.$$

b) По той же формуле: $A_1=\dfrac1{(-1)(-2)(-3)}=-\dfrac16$, $A_2=\dfrac1{(1)(-1)(-2)}=\dfrac12$, $A_3=\dfrac1{(2)(1)(-1)}=-\dfrac12$, $A_4=\dfrac1{(3)(2)(1)}=\dfrac16$. $$\frac1{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}=-\frac{1/6}{x-1}+\frac{1/2}{x-2}-\frac{1/2}{x-3}+\frac{1/6}{x-4}.$$

c) Над $\mathbb C$: $x^2+1=(x-i)(x+i)$. $A=\dfrac{4}{(1-i)(1+i)}=2$; $B=\dfrac{3+i}{(i-1)(2i)}=\dfrac{3+i}{-2-2i}=-1+\dfrac i2$; $C=\overline B=-1-\dfrac i2$. $$\frac{3+x}{(x-1)(x^2+1)}=\frac2{x-1}+\frac{-1+i/2}{x-i}+\frac{-1-i/2}{x+i}.$$

d) $x^4-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$. $A=\dfrac14$, $B=-\dfrac14$, $C=\dfrac{-1}{-4i}=-\dfrac i4$, $D=\dfrac i4$. $$\frac{x^2}{x^4-1}=\frac{1/4}{x-1}-\frac{1/4}{x+1}-\frac{i/4}{x-i}+\frac{i/4}{x+i}.$$

e) Корни: $1,\omega,\omega^2$, $\omega=e^{2\pi i/3}$. По формуле $1/f'(x_k)$ с $f'=3x^2$: коэффициенты $\dfrac13,\ \dfrac1{3\omega^2}=\dfrac\omega3,\ \dfrac1{3\omega}=\dfrac{\omega^2}3$. $$\frac1{x^3-1}=\frac{1/3}{x-1}+\frac{\omega/3}{x-\omega}+\frac{\omega^2/3}{x-\omega^2}.$$

f) Корни $1\pm i,\,-1\pm i$ (см. 587б). С $f'=4x^3$ получаем коэффициенты $\dfrac1{4r^3}$; вычисление даёт $$\frac1{x^4+4}=\frac{-(1+i)/16}{x-1-i}+\frac{-(1-i)/16}{x-1+i}+\frac{(1-i)/16}{x+1-i}+\frac{(1+i)/16}{x+1+i}.$$

g) Корни — $\varepsilon_k=e^{2\pi ik/n}$, $k=0,\dots,n-1$; $f'(\varepsilon_k)=n\varepsilon_k^{n-1}=n/\varepsilon_k$, значит коэффициент при $x-\varepsilon_k$ равен $\varepsilon_k/n$: $$\frac1{x^n-1}=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\varepsilon_k}{x-\varepsilon_k}.$$

h) Корни — $\eta_k=e^{i\pi(2k+1)/n}$; аналогично, $f'(\eta_k)=n\eta_k^{n-1}=-n/\eta_k$ (так как $\eta_k^n=-1$), коэффициент $-\eta_k/n$: $$\frac1{x^n+1}=-\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\eta_k}{x-\eta_k}.$$

i) Полюсы $x=0,1,\dots,n$. При $x=k$: знаменатель прочих множителей $=k!\cdot(-1)^{n-k}(n-k)!$, так что коэффициент $A_k=n!/\bigl(k!(-1)^{n-k}(n-k)!\bigr)=(-1)^{n-k}\binom nk$: $$\frac{n!}{x(x-1)\cdots(x-n)}=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^{n-k}\binom nk}{x-k}.$$

j) Знаменатель есть $\prod_{k=-n}^n(x-k)$. Тем же приёмом при $x=m$ ($-n\le m\le n$) получаем коэффициент $(-1)^{n-m}\binom{2n}{n+m}$: $$\frac{(2n)!}{x(x^2-1)(x^2-4)\cdots(x^2-n^2)}=\sum_{m=-n}^{n}\frac{(-1)^{n-m}\binom{2n}{n+m}}{x-m}.$$

k) $T_n(x)=\cos(n\arccos x)$ — многочлен Чебышёва, его корни $x_k=\cos\theta_k$, $\theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}$, $k=0,\dots,n-1$. Из $T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ дифференцированием получаем $T_n'(x_k)=\dfrac{n\sin(n\theta_k)}{\sin\theta_k}=\dfrac{n(-1)^k}{\sin\theta_k}$, откуда коэффициент при полюсе $x_k$ равен $\dfrac{(-1)^k\sin\theta_k}n$: $$\frac1{\cos(n\arccos x)}=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k\sin\theta_k}{x-\cos\theta_k},\qquad \theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}.$$

См. формулы в каждом пункте решения.