Найти расстояние от точки \( M(1,2,5) \) до прямой \[ x = t,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 3 + t. \]

1. Направляющий вектор прямой и точка на ней Из параметрических уравнений: направляющий вектор \(\mathbf{s} = (1, -2, 1)\). При \(t = 0\) получаем точку \(A(0,1,3)\), принадлежащую прямой.

2. Вектор \(\overrightarrow{AM}\) \[ \overrightarrow{AM} = (1-0,\; 2-1,\; 5-3) = (1,1,2). \]

3. Векторное произведение \[ \overrightarrow{AM} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot1 - 2\cdot(-2),\; -(1\cdot1 - 2\cdot1),\; 1\cdot(-2)-1\cdot1) = (5,\; 1,\; -3). \] Модуль: \[ |\overrightarrow{AM} \times \mathbf{s}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+1+9} = \sqrt{35}. \]

4. Модуль направляющего вектора \[ |\mathbf{s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}. \]

5. Расстояние от точки до прямой \[ d = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{35}{6}} = \frac{\sqrt{210}}{6}. \]

Ответ: \[ \boxed{\sqrt{\dfrac{35}{6}}} \quad \text{или} \quad \boxed{\dfrac{\sqrt{210}}{6}}. \]