Найти расстояние от точки \( M(1, 3, 5) \) до прямой \[ \begin{cases} 2x + y + z - 1 = 0, \\ 3x + y + 2z - 3 = 0. \end{cases} \]

1. Направляющий вектор прямой Нормали плоскостей: \[ \mathbf{n}_1 = (2,1,1),\quad \mathbf{n}_2 = (3,1,2). \] Направляющий вектор прямой: \[ \mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (1\cdot2 - 1\cdot1,\; -(2\cdot2 - 1\cdot3),\; 2\cdot1 - 1\cdot3) = (1,\,-1,\,-1). \]

2. Точка на прямой Положим \( z = 0 \): \[ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ 3x + y = 3. \end{cases} \] Вычитая, получим \( x = 2 \), тогда \( y = 1 - 4 = -3 \). Таким образом, точка \( A(2,-3,0) \) принадлежит прямой.

3. Вектор из точки прямой в данную точку \[ \overrightarrow{AM} = (1-2,\; 3-(-3),\; 5-0) = (-1,\,6,\,5). \]

4. Векторное произведение \[ \overrightarrow{AM} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 6 & 5 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \bigl(6\cdot(-1)-5\cdot(-1),\; -[(-1)\cdot(-1)-5\cdot1],\; (-1)\cdot(-1)-6\cdot1 \bigr) = (-1,\,4,\,-5). \] Модуль: \[ |\overrightarrow{AM} \times \mathbf{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+16+25} = \sqrt{42}. \]

5. Модуль направляющего вектора \[ |\mathbf{s}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}. \]

6. Расстояние от точки до прямой \[ d = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}} = \sqrt{14}. \]

Ответ: \[ \boxed{\sqrt{14}}. \]