Пусть задана линейно независимая система векторов $a_1, \ldots, a_k$. Выяснить, являются ли линейно зависимыми системы векторов:

a) $b_1 = 3a_1 + 2a_2 + a_3 + a_4$, $b_2 = 2a_1 + 5a_2 + 3a_3 + 2a_4$, $b_3 = 3a_1 + 4a_2 + 2a_3 + 3a_4$.

Векторы $b_1, b_2, b_3$ выражены через линейно независимые $a_1, a_2, a_3, a_4$. Их линейная зависимость равносильна линейной зависимости соответствующих строк коэффициентов. Составим матрицу коэффициентов (строки соответствуют $b_i$, столбцы — $a_j$): $$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}. $$ Найдём ранг этой матрицы. Вычислим минор из первых трёх столбцов: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 3(5\cdot2-3\cdot4) - 2(2\cdot2-3\cdot3) + 1(2\cdot4-5\cdot3) = 3(10-12) - 2(4-9) + (8-15) = -6 +10 -7 = -3 \neq 0. $$ Ранг матрицы равен трём, следовательно, строки линейно независимы. Поэтому и векторы $b_1, b_2, b_3$ линейно независимы.

Система векторов $b_1, b_2, b_3$ линейно независима.