Найти какой-нибудь базис системы векторов и выразить через этот базис остальные векторы системы: $$ a_1 = (5, 2, -3, 1),\quad a_2 = (4, 1, -2, 3),\quad a_3 = (1, 1, -1, -2),\quad a_4 = (3, 4, -1, 2),\quad a_5 = (7, -6, -7, 0). $$

Составим матрицу из данных векторов (как строки) и приведём её к ступенчатому виду для определения ранга и базисных векторов.

Расположим векторы в порядке, удобном для преобразований: сначала $a_3$, затем $a_4$, $a_2$, $a_5$, $a_1$ (но можно и по-другому). Получим матрицу: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 3 & 4 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & -2 & 3 \\ 7 & -6 & -7 & 0 \\ 5 & 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. $$

Выполним элементарные преобразования строк: 1. Из второй строки вычтем первую, умноженную на 3; из третьей – первую, умноженную на 4; из четвёртой – первую, умноженную на 7; из пятой – первую, умноженную на 5. После упрощения получим: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 11 \\ 0 & -13 & 0 & 14 \\ 0 & -3 & 2 & 11 \end{pmatrix}. $$ Третья и пятая строки оказались одинаковыми, поэтому одну из них (например, пятую) можно отбросить. Переставим строки для удобства: поставим вторую строку (с элементом 1 во втором столбце) на место второй, затем третью и четвёртую: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 11 \\ 0 & -13 & 0 & 14 \end{pmatrix}. $$

2. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 3; к четвёртой прибавим вторую, умноженную на 13: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 8 & 35 \\ 0 & 0 & 26 & 118 \end{pmatrix}. $$

3. Из четвёртой строки вычтем третью, умноженную на $\frac{26}{8} = \frac{13}{4}$, что даёт в четвёртой строке элемент $(0,0,0,\frac{17}{4})$, отличный от нуля. Таким образом, все четыре строки линейно независимы, и ранг системы равен 4. Следовательно, базис может состоять из любых четырёх линейно независимых векторов данной системы. В качестве базисных выберем векторы, соответствующие строкам, которые не обнулились в процессе: $a_3$, $a_4$, $a_2$, $a_5$. Они образуют базис.

Теперь выразим оставшийся вектор $a_1$ через этот базис. Решим систему: $$ a_1 = x a_3 + y a_4 + z a_2 + w a_5. $$ В координатной форме: \[ \begin{cases} x + 3y + 4z + 7w = 5, \\ x + 4y + z - 6w = 2, \\ -x - y - 2z - 7w = -3, \\ -2x + 2y + 3z = 1. \end{cases} \] Преобразуем третье уравнение, умножив на $-1$: $x + y + 2z + 7w = 3$. Решаем систему методом Гаусса. После приведения получаем $w = 0$, $z = 1$, $y = 0$, $x = 1$. Таким образом, $$ a_1 = a_3 + a_2. $$ Проверка: $a_2 + a_3 = (4+1,\;1+1,\;-2-1,\;3-2) = (5,2,-3,1)$ – верно.

Базис системы векторов: $\{a_2, a_3, a_4, a_5\}$. Остальные векторы выражаются следующим образом: $$ a_1 = a_2 + a_3. $$