Найти все базисы системы векторов: $$ a_1 = (1, 2, 0, 0),\quad a_2 = (1, 2, 3, 4),\quad a_3 = (3, 6, 0, 0). $$

Заметим, что $a_3 = 3a_1$, поэтому векторы $a_1$ и $a_3$ линейно зависимы. Векторы $a_1$ и $a_2$ линейно независимы, так как не пропорциональны (у $a_2$ есть ненулевые третья и четвёртая координаты). Следовательно, ранг системы равен 2, и любой базис линейной оболочки должен состоять из двух линейно независимых векторов данной системы.

Рассмотрим все возможные пары: - $\{a_1, a_2\}$ — линейно независимы. - $\{a_1, a_3\}$ — линейно зависимы, так как $a_3 = 3a_1$, поэтому не являются базисом. - $\{a_2, a_3\}$ — проверим независимость: пусть $\alpha a_2 + \beta a_3 = 0$. Тогда

$$ \alpha(1,2,3,4) + \beta(3,6,0,0) = (\alpha+3\beta,\; 2\alpha+6\beta,\; 3\alpha,\; 4\alpha) = (0,0,0,0). $$
Из третьей координаты $3\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0$, тогда первая $3\beta=0 \Rightarrow \beta=0$. Значит, $\{a_2, a_3\}$ линейно независимы.

Покажем, что $\{a_2, a_3\}$ порождают ту же линейную оболочку, что и $\{a_1, a_2\}$. Так как $a_3 = 3a_1$, то $a_1 = \frac{1}{3}a_3$, следовательно, любой вектор, выражающийся через $a_1$ и $a_2$, выражается и через $a_2$ и $a_3$. Таким образом, $\{a_2, a_3\}$ также является базисом.

Других пар нет, поэтому система имеет два базиса.

Базисами системы векторов являются: $$ \boxed{\{a_1, a_2\}} \quad \text{и} \quad \boxed{\{a_2, a_3\}}. $$