Провести через точку пересечения плоскости \(x + y + z - 1 = 0\) с прямой \(y = 1\), \(z + 1 = 0\) прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

Прямая задана уравнениями: \[ \begin{cases} y = 1, \\ z + 1 = 0 \;\Rightarrow\; z = -1. \end{cases} \] Подставим \(y = 1\), \(z = -1\) в уравнение плоскости: \[ x + 1 + (-1) - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1. \] Получаем точку пересечения: \[ A(1,\; 1,\; -1). \]

Направляющий вектор данной прямой: \(\mathbf{a} = (1, 0, 0)\) (так как изменяется только \(x\)). Нормальный вектор плоскости: \(\mathbf{n} = (1, 1, 1)\).

Искомая прямая лежит в плоскости и перпендикулярна данной прямой, поэтому её направляющий вектор \(\mathbf{v}\) должен быть: - перпендикулярен \(\mathbf{a}\), - перпендикулярен \(\mathbf{n}\) (поскольку прямая лежит в плоскости, \(\mathbf{v}\) ортогонален нормали плоскости).

Условия: \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} = 0,\qquad \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0. \] Пусть \(\mathbf{v} = (l, m, n)\). Тогда: \[ l \cdot 1 + m \cdot 0 + n \cdot 0 = l = 0, \] \[ l \cdot 1 + m \cdot 1 + n \cdot 1 = l + m + n = 0. \] Из первого уравнения \(l = 0\), подставляем во второе: \(0 + m + n = 0 \Rightarrow n = -m\). Выбираем \(m = 1\), тогда \(n = -1\). Получаем: \[ \mathbf{v} = (0,\; 1,\; -1). \]

Прямая проходит через точку \(A(1,1,-1)\) с направляющим вектором \(\mathbf{v} = (0,1,-1)\).

Параметрические уравнения: \[ \begin{cases} x = 1, \\ y = 1 + t, \\ z = -1 - t, \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}. \]

Канонические уравнения: \[ \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1}. \]

Удобно записать в виде системы: \[ \begin{cases} x = 1, \\ \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1}. \end{cases} \]

Уравнения искомой прямой: \[ \boxed{\frac{x - 1}{0} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{-1}} \] или \[ \boxed{\begin{cases} x = 1, \\ y + z = 0. \end{cases}} \]