1) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым \[ \frac{x-1}{8} = \frac{y-2}{4} = \frac{z-3}{1}, \qquad \frac{x-1}{2} = -\frac{y}{-2} = \frac{z+1}{1} \] и найти расстояние \( d \) между этими прямыми. 2) Найти точки пересечения общего перпендикуляра с данными прямыми.

1. Исходные данные Первая прямая: Направляющий вектор \(\vec{s_1} = (8,4,1)\), точка \(A_1(1,2,3)\).

Вторая прямая (после упрощения второго отношения \(-\frac{y}{-2} = \frac{y}{2}\)): \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} \] Направляющий вектор \(\vec{s_2} = (2,2,1)\), точка \(A_2(1,0,-1)\).

2. Вектор, перпендикулярный обеим прямым \[ \vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ 8 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (2,-6,8) \sim (1,-3,4). \]

3. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми Параметризуем точки на прямых: \[ P_1 = A_1 + t_1 \vec{s_1} = (1+8t_1,\; 2+4t_1,\; 3+t_1), \] \[ P_2 = A_2 + t_2 \vec{s_2} = (1+2t_2,\; 2t_2,\; -1+t_2). \] Вектор \(\overrightarrow{P_1P_2}\) должен быть параллелен \(\vec{n}\), т.е. \[ \overrightarrow{P_1P_2} = (2t_2-8t_1,\; 2t_2-4t_1-2,\; t_2-t_1-4) = \lambda (1,-3,4). \] Получаем систему: \[ \begin{cases} 2t_2 - 8t_1 = \lambda,\\ 2t_2 - 4t_1 - 2 = -3\lambda,\\ t_2 - t_1 - 4 = 4\lambda. \end{cases} \] Решение: \(t_1 = \dfrac{23}{26},\; t_2 = \dfrac{87}{26}\).

Тогда \[ P_1 = \left(1+8\cdot\frac{23}{26},\; 2+4\cdot\frac{23}{26},\; 3+\frac{23}{26}\right) = \left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right), \] \[ P_2 = \left(1+2\cdot\frac{87}{26},\; 2\cdot\frac{87}{26},\; -1+\frac{87}{26}\right) = \left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right). \]

4. Уравнения общего перпендикуляра Общий перпендикуляр проходит через \(P_1\) (или \(P_2\)) и имеет направляющий вектор \(\vec{n}=(1,-3,4)\). Канонические уравнения: \[ \boxed{\frac{x - \frac{105}{13}}{1} = \frac{y - \frac{72}{13}}{-3} = \frac{z - \frac{101}{26}}{4}}. \]

5. Расстояние между прямыми \[ d = |\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{\left(\frac{100}{13}-\frac{105}{13}\right)^2 + \left(\frac{87}{13}-\frac{72}{13}\right)^2 + \left(\frac{61}{26}-\frac{101}{26}\right)^2} \] \[ \overrightarrow{P_1P_2} = \left(-\frac{5}{13},\; \frac{15}{13},\; -\frac{40}{26}\right) = \left(-\frac{5}{13},\; \frac{15}{13},\; -\frac{20}{13}\right), \] \[ d = \sqrt{\frac{25}{169} + \frac{225}{169} + \frac{400}{169}} = \sqrt{\frac{650}{169}} = \frac{\sqrt{650}}{13} = \frac{5\sqrt{26}}{13}. \] Таким образом, \[ \boxed{d = \frac{5\sqrt{26}}{13}}. \]

6. Точки пересечения общего перпендикуляра с прямыми Уже найдены: - С первой прямой: \(\displaystyle P_1\left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right)\), - Со второй прямой: \(\displaystyle P_2\left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right)\).

Ответы: 1) Уравнения общего перпендикуляра: \[ \frac{x - \frac{105}{13}}{1} = \frac{y - \frac{72}{13}}{-3} = \frac{z - \frac{101}{26}}{4}; \] расстояние \( d = \dfrac{5\sqrt{26}}{13} \). 2) Точки пересечения: \[ P_1\left(\frac{105}{13},\; \frac{72}{13},\; \frac{101}{26}\right), \quad P_2\left(\frac{100}{13},\; \frac{87}{13},\; \frac{61}{26}\right). \]