Найти точку, симметричную точке \( M(1,2,3) \) относительно плоскости \( 2x - 3y + 5z - 68 = 0 \).

1. Найдем проекцию точки \( M \) на плоскость Нормальный вектор плоскости: \( \vec{n} = (2, -3, 5) \).

Прямая через \( M \) перпендикулярно плоскости (параметрически): \[ \begin{cases} x = 1 + 2t, \\ y = 2 - 3t, \\ z = 3 + 5t. \end{cases} \]

Подставим в уравнение плоскости: \[ 2(1+2t) - 3(2-3t) + 5(3+5t) - 68 = 0. \] \[ 2 + 4t - 6 + 9t + 15 + 25t - 68 = 0. \] \[ -57 + 38t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{3}{2}. \]

Координаты проекции \( P \): \[ x_P = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2} = 4, \quad y_P = 2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}, \quad z_P = 3 + 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{2}. \]

2. Находим симметричную точку \( M' \) Так как \( P \) — середина отрезка \( MM' \), то \( M' = 2P - M \): \[ x_{M'} = 2 \cdot 4 - 1 = 7, \quad y_{M'} = 2 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right) - 2 = -7, \quad z_{M'} = 2 \cdot \frac{21}{2} - 3 = 18. \]

Ответ: Точка, симметричная \( (1,2,3) \) относительно данной плоскости, есть \[ \boxed{(7, -7, 18)}. \]