Найти ортогональную проекцию точки \( M(1, 2, -3) \) на плоскость \[ 6x - y + 3z - 41 = 0. \]

1. Нормальный вектор плоскости Из уравнения плоскости: \[ \vec{n} = (6, -1, 3). \]

2. Уравнение перпендикулярной прямой Прямая, проходящая через точку \( M \) и перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор \( \vec{n} \). Её параметрические уравнения: \[ \begin{cases} x = 1 + 6t, \\ y = 2 - t, \\ z = -3 + 3t. \end{cases} \]

3. Нахождение точки пересечения с плоскостью Подставим параметрические уравнения в уравнение плоскости: \[ 6(1+6t) - (2-t) + 3(-3+3t) - 41 = 0. \] Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 6 + 36t - 2 + t - 9 + 9t - 41 = 0, \] \[ (6 - 2 - 9 - 41) + (36t + t + 9t) = -46 + 46t = 0, \] \[ 46t = 46 \quad \Rightarrow \quad t = 1. \]

4. Координаты проекции Подставляем \( t = 1 \) в параметрические уравнения: \[ x = 1 + 6 \cdot 1 = 7, \quad y = 2 - 1 = 1, \quad z = -3 + 3 \cdot 1 = 0. \]

Ответ: Ортогональная проекция точки \( (1, 2, -3) \) на данную плоскость есть \[ \boxed{(7, 1, 0)}. \]