Написать уравнение плоскости, проходящей через точки \( (1, 2, 3) \) и \( (4, 5, 7) \) и перпендикулярной к плоскости \[ x - y + 2z - 4 = 0. \]

Пусть уравнение искомой плоскости имеет вид: \[ Ax + By + Cz + D = 0. \] Её нормальный вектор: \( \mathbf{n} = (A, B, C) \).

1) Условие перпендикулярности к заданной плоскости. Нормальный вектор заданной плоскости: \( \mathbf{n}_1 = (1, -1, 2) \). Плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны: \[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad A \cdot 1 + B \cdot (-1) + C \cdot 2 = 0, \] \[ A - B + 2C = 0. \tag{1} \]

2) Условие прохождения через точки \( (1, 2, 3) \) и \( (4, 5, 7) \): \[ A \cdot 1 + B \cdot 2 + C \cdot 3 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad A + 2B + 3C + D = 0, \tag{2} \] \[ A \cdot 4 + B \cdot 5 + C \cdot 7 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad 4A + 5B + 7C + D = 0. \tag{3} \]

3) Вычитаем (2) из (3), чтобы исключить \( D \): \[ (4A + 5B + 7C + D) - (A + 2B + 3C + D) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3A + 3B + 4C = 0, \] \[ 3(A + B) + 4C = 0 \quad \Rightarrow \quad A + B = -\frac{4}{3}C. \tag{4} \]

4) Из (1) выразим \( A - B = -2C \). \tag{5}

5) Решаем систему (4) и (5) относительно \( A \) и \( B \): Складывая (4) и (5): \[ 2A = -\frac{4}{3}C - 2C = -\frac{4}{3}C - \frac{6}{3}C = -\frac{10}{3}C \quad \Rightarrow \quad A = -\frac{5}{3}C. \] Вычитая (5) из (4): \[ 2B = -\frac{4}{3}C + 2C = -\frac{4}{3}C + \frac{6}{3}C = \frac{2}{3}C \quad \Rightarrow \quad B = \frac{1}{3}C. \]

6) Выбираем удобное значение \( C \), например, \( C = 3 \). Тогда: \[ A = -\frac{5}{3} \cdot 3 = -5, \quad B = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1, \quad C = 3. \]

7) Подставляем \( A, B, C \) в уравнение (2) для нахождения \( D \): \[ -5 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad -5 + 2 + 9 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad 6 + D = 0 \quad \Rightarrow \quad D = -6. \]

8) Таким образом, уравнение искомой плоскости: \[ -5x + y + 3z - 6 = 0 \quad \text{или, умножив на } -1, \quad 5x - y - 3z + 6 = 0. \]

Уравнение искомой плоскости: \[ \boxed{5x - y - 3z + 6 = 0} \]