Написать уравнение плоскости, зная, что точка \( (2, 6, -4) \) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Пусть начало координат \( O(0,0,0) \). Точка \( P(2,6,-4) \) — основание перпендикуляра, опущенного из \( O \) на плоскость. Тогда вектор \( \overrightarrow{OP} = (2,6,-4) \) перпендикулярен плоскости и, следовательно, является её нормальным вектором.

Уравнение плоскости с нормальным вектором \( \mathbf{n} = (2,6,-4) \), проходящей через точку \( P(2,6,-4) \), имеет вид: \[ 2(x - 2) + 6(y - 6) - 4(z + 4) = 0. \]

Упростим: \[ 2x - 4 + 6y - 36 - 4z - 16 = 0, \] \[ 2x + 6y - 4z - 56 = 0. \]

Делим обе части на 2: \[ x + 3y - 2z - 28 = 0. \]

Уравнение искомой плоскости: \[ \boxed{x + 3y - 2z - 28 = 0} \]