Прямые: \[ L_1:\begin{cases}x+z-1=0\\3x+y-z+13=0\end{cases},\quad L_2:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases} \]

Решение: Направляющие векторы: \(\mathbf{a}_1 = (-1,4,1)\), \(\mathbf{a}_2 = (-4,-2,1)\). Точка на \(L_1\): \(M_1(1,-16,0)\), на \(L_2\): \(M_2(-3,0,4)\). Векторы не коллинеарны. Параметризуем и приравниваем: \(L_1: (1-t,\;4t-16,\;t)\), \(L_2: (13-4s,\;8-2s,\;s)\). Получаем \(t=4\), \(s=4\), общая точка \(P(-3,0,4)\). Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2=(6,-3,18)\sim(2,-1,6)\). Уравнение: \(2(x+3)-y+6(z-4)=0\) → \(2x-y+6z-18=0\).

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((-3,0,4)\), уравнение плоскости \(2x-y+6z-18=0\).

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases},\quad L_2:\begin{cases}z-4=0\\2x+3z-7=0\end{cases} \]

Решение: Направляющие векторы: \(\mathbf{a}_1=(3,-2,-3)\), \(\mathbf{a}_2=(0,1,0)\). Точка на \(L_1\): \(M_1(0,0,8)\), на \(L_2\): \(M_2(-2.5,0,4)\). Векторы не коллинеарны. Параметризуем: \(L_1: (8-t,\;(2t-16)/3,\;t)\), \(L_2: (-2.5,\;s,\;4)\). Приравнивая, получаем противоречие: \(t=10.5\) и \(t=4\). Смешанное произведение \((\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})\neq0\).

Ответ: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases},\quad L_2:\begin{cases}2x+3y+6z-6=0\\3x+4y+7z=0\end{cases} \]

Решение: Направляющие векторы: \(\mathbf{a}_1=(3,-4,1)\), \(\mathbf{a}_2=(-3,4,-1)=-\mathbf{a}_1\) → коллинеарны. Точка на \(L_1\): \(M_1(1,0,0)\) не лежит на \(L_2\) (проверка: \(2\cdot1+3\cdot0+6\cdot0-6=-4\neq0\)). Значит, прямые параллельны. Точка на \(L_2\): \(M_2(-24,18,0)\). Плоскость, содержащая обе прямые: через \(M_1\) с векторами \(\mathbf{a}_1\) и \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\). Нормаль \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2}=(-18,-25,-46)\sim(18,25,46)\). Уравнение: \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).

Ответ: Прямые параллельны, уравнение плоскости \(18x+25y+46z-18=0\).

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}3x+y-2z-6=0\\41x-19y+52z-68=0\end{cases},\quad L_2:\begin{cases}22x-9y+25z-37=0\\19x-10y+27z-31=0\end{cases} \]

Решение: Направляющие векторы: \(\mathbf{a}_1=(14,-238,-98)\sim(1,-17,-7)\), \(\mathbf{a}_2=(7,-119,-49)\sim(1,-17,-7)\) → коллинеарны. Точка на \(L_1\): \(M_1(13/7,\;3/7,\;0)\) лежит на \(L_2\) (проверка подстановкой). Дополнительная точка на \(L_1\): \(N(0,32,13)\) также лежит на \(L_2\). Значит, прямые совпадают.

Ответ: Прямые совпадают.