Рассмотрим каждую пару прямых, заданных как линии пересечения двух плоскостей. Для каждой пары: - Найдем направляющие векторы прямых \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) как векторные произведения нормалей плоскостей. - Возьмем по точке на каждой прямой. - Если \(\mathbf{a}_1 \parallel \mathbf{a}_2\), проверяем, лежит ли точка первой прямой на второй прямой (тогда прямые совпадают), иначе – параллельны. - Если не параллельны, проверяем, пересекаются ли они, решая систему из 4 уравнений. Если система совместна – пересекаются, иначе – скрещиваются.

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}x+z-1=0\\3x+y-z+13=0\end{cases},\qquad L_2:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases} \] Направляющий вектор \(L_1\): \[ \mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&0&1\\3&1&-1\end{vmatrix}=(-1,4,1). \] Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(z=1\), \(y=-13+z=-12\) → \(M_1(0,-12,1)\).

Направляющий вектор \(L_2\): \[ \mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&-2&0\\0&1&2\end{vmatrix}=(-4,-2,1). \] Точка на \(L_2\): пусть \(x=1\), тогда \(-2y+3=0\) → \(y=1.5\), \(1.5+2z-8=0\) → \(z=3.25\) → \(M_2(1,1.5,3.25)\).

Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}-1&4&1\\-4&-2&1\\1&13.5&2.25\end{vmatrix}\neq0. \] Ответ: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\end{cases},\qquad L_2:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases} \] Направляющий вектор \(L_1\) (уже найден): \(\mathbf{a}_1=(-4,-2,1)\).

Точка на \(L_1\): пусть \(y=0\), тогда \(x=-3\), \(z=4\) → \(M_1(-3,0,4)\).

Направляющий вектор \(L_2\): \[ \mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&0\\1&0&1\end{vmatrix}=(3,-2,-3). \] Точка на \(L_2\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\) → \(M_2(0,0,8)\).

Векторы не коллинеарны. Решаем систему: \[ \begin{cases}x-2y+3=0\\y+2z-8=0\\2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases} \] Из четвертого: \(x=8-z\). Из третьего: \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\). Из первого: \(8-z-2y+3=0\) → \(11-z-2y=0\) → \(z=11-2y\). Подставляем во второе: \(y+2(11-2y)-8=0\) → \(y+22-4y-8=0\) → \(-3y+14=0\) → \(y=\frac{14}{3}\). Тогда \(z=11-\frac{28}{3}=\frac{5}{3}\), \(x=8-\frac{5}{3}=\frac{19}{3}\). Проверка показывает, что вычисления привели к нецелым числам, но ранее я находил точку \((3,-2,5)\). Пересчитаем аккуратно.

Возьмем точку пересечения проще: параметризуем \(L_1\). Из \(y+2z-8=0\) → \(y=8-2z\). Из \(x-2y+3=0\) → \(x=2y-3=2(8-2z)-3=16-4z-3=13-4z\). Параметризация \(L_1\): \(x=13-4t,\; y=8-2t,\; z=t\).

Параметризуем \(L_2\). Из \(x+z-8=0\) → \(x=8-z\). Из \(2x+3y=0\) → \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\) → \(y=\frac{2z-16}{3}\). Параметризация \(L_2\): \(x=8-s,\; y=\frac{2s-16}{3},\; z=s\).

Приравниваем координаты: \[ \begin{cases}13-4t=8-s\\8-2t=\frac{2s-16}{3}\\t=s\end{cases} \] Из первого при \(t=s\): \(13-4s=8-s\) → \(5=3s\) → \(s=\frac{5}{3}\). Тогда \(t=\frac{5}{3}\). Проверяем второе: левая часть \(8-2\cdot\frac{5}{3}=8-\frac{10}{3}=\frac{14}{3}\), правая часть \(\frac{2\cdot\frac{5}{3}-16}{3}=\frac{\frac{10}{3}-16}{3}=\frac{\frac{10-48}{3}}{3}=\frac{-\frac{38}{3}}{3}=-\frac{38}{9}\) – не совпадает. Значит, система несовместна? Но ранее я находил точку пересечения \((3,-2,5)\). Попробуем найти точку пересечения непосредственно подстановкой.

Подставим параметризацию \(L_1\) в уравнения \(L_2\): Для \(L_2\): \(2x+3y=0\) и \(x+z-8=0\). Подставляем \(x=13-4t,\; y=8-2t,\; z=t\): Первое: \(2(13-4t)+3(8-2t)=26-8t+24-6t=50-14t=0\) → \(t=\frac{25}{7}\). Второе: \((13-4t)+t-8=13-4t+t-8=5-3t=0\) → \(t=\frac{5}{3}\). Получили разные \(t\), значит, точка с \(L_1\) не лежит на \(L_2\). Следовательно, прямые не пересекаются. Проверим смешанное произведение.

Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(3,0,4)\). Смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}-4&-2&1\\3&-2&-3\\3&0&4\end{vmatrix}=? \] Вычисляем: \((-4)\cdot(-2)\cdot4 + (-2)\cdot(-3)\cdot3 + 1\cdot3\cdot0 - 1\cdot(-2)\cdot3 - (-4)\cdot(-3)\cdot0 - (-2)\cdot3\cdot4\) = \(32 + 18 + 0 + 6 - 0 + 24 = 80 \neq 0\). Значит, прямые скрещиваются. Но в предыдущем разборе я указал, что они пересекаются. Ошибся. Исправляю.

Ответ для пары 2: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}2x+3y=0\\x+z-8=0\end{cases},\qquad L_2:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases} \] Направляющий вектор \(L_1\): \[ \mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&0\\1&0&1\end{vmatrix}=(3,-2,-3). \] Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\) → \(M_1(0,0,8)\).

Направляющий вектор \(L_2\): \[ \mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&1&1\\0&1&4\end{vmatrix}=(3,-4,1). \] Точка на \(L_2\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\) → \(M_2(1,0,0)\).

Векторы не коллинеарны. Решаем систему: Параметризуем \(L_1\): из \(x+z-8=0\) → \(x=8-z\). Из \(2x+3y=0\) → \(2(8-z)+3y=0\) → \(16-2z+3y=0\) → \(y=\frac{2z-16}{3}\). Пусть \(z=t\): \(x=8-t,\; y=\frac{2t-16}{3},\; z=t\). Подставляем в уравнения \(L_2\): \(x+y+z-1=0\) → \((8-t)+\frac{2t-16}{3}+t-1=0\). Умножим на 3: \(24-3t+2t-16+3t-3=0\) → \(5+2t=0\) → \(t=-\frac{5}{2}\). \(y+4z=0\) → \(\frac{2t-16}{3}+4t=0\) → умножим на 3: \(2t-16+12t=0\) → \(14t=16\) → \(t=\frac{8}{7}\). Получили разные \(t\), значит, система несовместна? Проверим смешанное произведение.

Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(1,0,-8)\). Смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\overrightarrow{M_1M_2})=\begin{vmatrix}3&-2&-3\\3&-4&1\\1&0&-8\end{vmatrix}=? \] Вычисляем: \(3\cdot(-4)\cdot(-8) + (-2)\cdot1\cdot1 + (-3)\cdot3\cdot0 - (-3)\cdot(-4)\cdot1 - 3\cdot1\cdot0 - (-2)\cdot3\cdot(-8)\) = \(96 -2 +0 -12 -0 -48 = 34 \neq 0\). Следовательно, прямые скрещиваются.

Но в предыдущем разборе я указал пересекающимися. Ошибка произошла из-за неаккуратного решения системы. Исправляю.

Ответ для пары 3: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1:\begin{cases}x+y+z-1=0\\y+4z=0\end{cases},\qquad L_2:\begin{cases}2x+3y+6z-6=0\\3x+4y+7z=0\end{cases} \] Направляющий вектор \(L_1\): \[ \mathbf{a}_1=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\1&1&1\\0&1&4\end{vmatrix}=(3,-4,1). \] Точка на \(L_1\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\) → \(M_1(1,0,0)\).

Направляющий вектор \(L_2\): \[ \mathbf{a}_2=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&3&6\\3&4&7\end{vmatrix}=(-3,4,-1)=-\mathbf{a}_1. \] Точка на \(L_2\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6,\;3x+4y=0\) → из второго \(x=-\frac{4}{3}y\), подставляем в первое: \(-\frac{8}{3}y+3y=6\) → \(\frac{1}{3}y=6\) → \(y=18\), \(x=-24\) → \(M_2(-24,18,0)\).

Векторы коллинеарны. Проверим, лежит ли \(M_1\) на \(L_2\): подставляем в уравнения \(L_2\): \(2\cdot1+3\cdot0+6\cdot0-6=-4\neq0\), не лежит. Значит, прямые параллельны.

Уравнение плоскости, проходящей через обе параллельные прямые: Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\). Нормаль плоскости \(\mathbf{n}=\mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2}\). \[ \mathbf{n}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\3&-4&1\\-25&18&0\end{vmatrix}=(-18, -25, 14)? \] Вычисляем: \(\mathbf{i}(-4\cdot0-1\cdot18) - \mathbf{j}(3\cdot0-1\cdot(-25)) + \mathbf{k}(3\cdot18-(-4)\cdot(-25)) = \mathbf{i}(0-18) - \mathbf{j}(0+25) + \mathbf{k}(54-100) = (-18, -25, -46)\). Можно сократить на -1: \((18,25,46)\). Уравнение плоскости через \(M_1\): \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\).

В предыдущем разборе я получил плоскость \(9x+11y+7z-9=0\). Это расхождение требует проверки.

Пересчитаем нормаль аккуратно: \(\mathbf{a}_1=(3,-4,1)\), \(\overrightarrow{M_1M_2}=(-25,18,0)\). Векторное произведение: \[ \mathbf{a}_1\times\overrightarrow{M_1M_2} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\3&-4&1\\-25&18&0\end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-4)\cdot0 - 1\cdot18\bigr) - \mathbf{j}\bigl(3\cdot0 - 1\cdot(-25)\bigr) + \mathbf{k}\bigl(3\cdot18 - (-4)\cdot(-25)\bigr) = \mathbf{i}(0-18) - \mathbf{j}(0+25) + \mathbf{k}(54-100) = (-18, -25, -46). \] Итак, нормаль \((-18,-25,-46)\), можно взять противоположный: \((18,25,46)\). Уравнение: \(18(x-1)+25y+46z=0\) → \(18x+25y+46z-18=0\). Проверим, проходит ли плоскость через \(M_2\): \(18\cdot(-24)+25\cdot18+46\cdot0-18 = -432+450-18=0\), верно.

Теперь найдем уравнение плоскости другим способом: через пучок плоскостей, содержащих \(L_1\), и условие, что она содержит точку \(M_2\). Уравнение пучка через \(L_1\): \((x+y+z-1)+\lambda(y+4z)=0\) → \(x+(1+\lambda)y+(1+4\lambda)z-1=0\). Подставляем \(M_2(-24,18,0)\): \(-24+(1+\lambda)\cdot18-1=0\) → \(-24+18+18\lambda-1=0\) → \(-7+18\lambda=0\) → \(\lambda=\frac{7}{18}\). Тогда уравнение: \(x+(1+\frac{7}{18})y+(1+4\cdot\frac{7}{18})z-1=0\) → \(x+\frac{25}{18}y+\frac{46}{18}z-1=0\) → умножим на 18: \(18x+25y+46z-18=0\). Совпадает.

Следовательно, плоскость \(18x+25y+46z-18=0\).

Ответ для пары 4: Прямые параллельны, уравнение плоскости: \(18x+25y+46z-18=0\).