Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x + z - 1 = 0 \\ 3x + y - z + 13 = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases} \]

Решение: - Направляющий вектор \(L_1\): \(\mathbf{a}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1, 4, 1)\). - Точка на \(L_1\): пусть \(x=0\), тогда \(z=1\), \(y = -13 + z = -12\), \(M_1(0, -12, 1)\). - Направляющий вектор \(L_2\): \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-4, -2, 1)\). - Точка на \(L_2\): пусть \(x=1\), тогда \(-2y+3=0 \Rightarrow y=1.5\), \(1.5+2z-8=0 \Rightarrow z=3.25\), \(M_2(1, 1.5, 3.25)\).

Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) не коллинеарны. Проверим смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 1 & 13.5 & 2.25 \end{vmatrix} \neq 0. \] Ответ: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + 2z - 8 = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x + z - 8 = 0 \end{cases} \]

Решение: - \(\mathbf{a}_1 = (-4, -2, 1)\) (как в предыдущем пункте для такой же первой прямой). - Точка \(M_1\): пусть \(y=0\), тогда \(x=-3\), \(z=4\), \(M_1(-3, 0, 4)\). - \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (3, -2, -3)\). - Точка \(M_2\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\), \(M_2(0, 0, 8)\).

Векторы не коллинеарны. Проверяем пересечение: система из 4 уравнений совместна, находим общую точку \(P(3, -2, 5)\).

Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (8, 9, 14)\). Через точку \(P\): \(8(x-3) + 9(y+2) + 14(z-5) = 0 \Rightarrow 8x + 9y + 14z - 76 = 0\).

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((3, -2, 5)\), уравнение плоскости \(8x + 9y + 14z - 76 = 0\).

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} 2x + 3y = 0 \\ x + z - 8 = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ y + 4z = 0 \end{cases} \]

Решение: - \(\mathbf{a}_1 = (3, -2, -3)\) (как в предыдущем пункте). - Точка \(M_1\): пусть \(x=0\), тогда \(y=0\), \(z=8\), \(M_1(0, 0, 8)\). - \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (3, -4, 1)\). - Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(y=0\), \(x=1\), \(M_2(1, 0, 0)\).

Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\ 3 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & -8 \end{vmatrix} = 0. \] Система совместна, общая точка \(P(2, -\frac{4}{3}, 6)\).

Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (-14, -12, -6)\). Через \(P\): \(-14(x-2) -12(y+\frac{4}{3}) -6(z-6)=0 \Rightarrow 7x + 6y + 3z - 38 = 0\).

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((2, -\frac{4}{3}, 6)\), уравнение плоскости \(7x + 6y + 3z - 38 = 0\).

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ y + 4z = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} 2x + 3y + 6z - 6 = 0 \\ 3x + 4y + 7z = 0 \end{cases} \]

Решение: - \(\mathbf{a}_1 = (3, -4, 1)\) (как выше). - Точка \(M_1(1,0,0)\). - \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 3 & 4 & 7 \end{vmatrix} = (-3, 4, -1) = -(3, -4, 1)\). - Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6\), \(3x+4y=0 \Rightarrow y=-9, x=12\), \(M_2(12, -9, 0)\).

Векторы коллинеарны (\(\mathbf{a}_2 = -\mathbf{a}_1\)). Точка \(M_1\) не лежит на \(L_2\) (подстановка в уравнения \(L_2\) не выполняется).

Уравнение плоскости, содержащей обе параллельные прямые: Вектор \(\overrightarrow{M_1M_2} = (11, -9, 0)\), нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \overrightarrow{M_1M_2} = (9, 11, 7)\). Через \(M_1\): \(9(x-1) + 11y + 7z = 0 \Rightarrow 9x + 11y + 7z - 9 = 0\).

Ответ: Прямые параллельны, уравнение плоскости \(9x + 11y + 7z - 9 = 0\).

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} 2x + 3y + 6z - 6 = 0 \\ 3x + 4y + 7z = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases} \]

Решение: - \(\mathbf{a}_1 = (-3, 4, -1)\). - Точка \(M_1\): пусть \(z=0\), тогда \(2x+3y=6\), \(3x+4y=0 \Rightarrow y=-9, x=12\), \(M_1(12, -9, 0)\). - \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 41 & -19 & 52 \end{vmatrix} = (50, -178, -98) = 2(25, -89, -49)\). - Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(3x+y=6\), \(41x-19y=68\), находим \(x=2, y=0\), \(M_2(2, 0, 0)\).

Векторы не коллинеарны. Смешанное произведение: \[ (\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} -3 & 4 & -1 \\ 25 & -89 & -49 \\ -10 & 9 & 0 \end{vmatrix} \neq 0. \] Ответ: Прямые скрещиваются.

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases} \]

Решение: - \(\mathbf{a}_1 = (50, -178, -98)\). - Точка \(M_1(2, 0, 0)\). - \(\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 22 & -9 & 25 \\ 19 & -10 & 27 \end{vmatrix} = (7, 1, -1)\). - Точка \(M_2\): пусть \(z=0\), тогда \(22x-9y=37\), \(19x-10y=31\), находим \(x=1, y=-1\), \(M_2(1, -1, 0)\).

Векторы не коллинеарны. Система из 4 уравнений совместна, общая точка \(P(2, 1, 2)\).

Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (276, -636, 456)\). Упрощаем: делим на 12, \((23, -53, 38)\). Через \(P\): \(23(x-2) -53(y-1) + 38(z-2) = 0 \Rightarrow 23x - 53y + 38z - 47 = 0\).

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((2, 1, 2)\), уравнение плоскости \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\).

Прямые: \[ L_1: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases}, \quad L_2: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases} \]

Решение: Прямые \(L_1\) и \(L_2\) — те же, что в пунктах 6 и 5, но поменяны местами. Мы уже установили, что они пересекаются в точке \((2, 1, 2)\) (в пункте 6 это были \(L_2\) и \(L_1\) соответственно). Чтобы избежать путаницы, переобозначим:

Первая прямая (из условия 7) — это \(L_a\): системы как в пункте 6 для \(L_2\)? Проверим: Условие 7: \[ L_a: \begin{cases} 22x - 9y + 25z - 37 = 0 \\ 19x - 10y + 27z - 31 = 0 \end{cases} \] Это совпадает с \(L_2\) из пункта 6. Вторая прямая: \[ L_b: \begin{cases} 3x + y - 2z - 6 = 0 \\ 41x - 19y + 52z - 68 = 0 \end{cases} \] Это совпадает с \(L_1\) из пункта 6. В пункте 6 мы уже выяснили, что они пересекаются.

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((2, 1, 2)\), уравнение плоскости \(23x - 53y + 38z - 47 = 0\).