Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.

Первая прямая (параметрически): \[ x = 9t,\; y = 5t,\; z = -3 + t. \] Вторая прямая (пересечение плоскостей): \[ \begin{cases} 2x - 3y - 3z - 9 = 0, \\ x - 2y + z + 3 = 0. \end{cases} \]

Решение: Направляющий вектор первой прямой: \(\mathbf{a}_1 = (9,5,1)\), точка \(M_1(0,0,-3)\). Направляющий вектор второй прямой: \(\mathbf{a}_2 = (9,5,1)\) (коллинеарен \(\mathbf{a}_1\)). Точка \(M_1\) удовлетворяет уравнениям второй прямой, значит, первая прямая целиком лежит на второй.

Ответ: Прямые совпадают.

Первая прямая (параметрически): \[ x = t,\; y = -8 - 4t,\; z = -3 - 3t. \] Вторая прямая (пересечение плоскостей): \[ \begin{cases} x + y - z = 0, \\ 2x - y + 2z = 0. \end{cases} \]

Решение: Направляющий вектор первой прямой: \(\mathbf{a}_1 = (1,-4,-3)\). Направляющий вектор второй прямой: \(\mathbf{a}_2 = (1,-4,-3)\) (коллинеарен \(\mathbf{a}_1\)). Точка на второй прямой: \(M_2(0,0,0)\) не принадлежит первой прямой.

Плоскость, содержащая обе параллельные прямые: Вектор, соединяющий точки \(M_1(0,-8,-3)\) и \(M_2(0,0,0)\): \(\overrightarrow{M_1M_2} = (0,8,3)\). Нормаль плоскости: \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \overrightarrow{M_1M_2} = (12,-3,8)\). Уравнение плоскости через \(M_1\): \(12x - 3(y+8) + 8(z+3) = 0\) → \(12x - 3y + 8z = 0\).

Ответ: Прямые параллельны, уравнение плоскости: \(12x - 3y + 8z = 0\).

Первая прямая (параметрически): \[ x = 3 + t,\; y = -1 + 2t,\; z = 4. \] Вторая прямая (пересечение плоскостей): \[ \begin{cases} x - 3y + z = 0, \\ x + y - z + 4 = 0. \end{cases} \]

Решение: Направляющий вектор первой прямой: \(\mathbf{a}_1 = (1,2,0)\). Направляющий вектор второй прямой: \(\mathbf{a}_2 = (1,1,2)\). Векторы не коллинеарны. Точка на первой прямой: \(M_1(3,-1,4)\), точка на второй прямой: \(M_2(0,2,6)\). Смешанное произведение \((\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \overrightarrow{M_1M_2}) = -20 \neq 0\).

Ответ: Прямые скрещиваются.

Первая прямая (параметрически): \[ x = -2 + 3t,\; y = -1,\; z = 4 - t. \] Вторая прямая (пересечение плоскостей): \[ \begin{cases} 2y - z + 2 = 0, \\ x - 7y + 3z - 17 = 0. \end{cases} \]

Решение: Направляющий вектор первой прямой: \(\mathbf{a}_1 = (3,0,-1)\). Направляющий вектор второй прямой: \(\mathbf{a}_2 = (1,1,2)\). Векторы не коллинеарны. Параметризация второй прямой: \(x = 11 + s,\; y = s,\; z = 2 + 2s\). Система для пересечения имеет решение \(t = 4\), \(s = -1\). Общая точка: \(P(10,-1,0)\).

Плоскость, содержащая обе прямые: нормаль \(\mathbf{n} = \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2 = (1,-7,3)\). Уравнение через \(P\): \(1(x-10) - 7(y+1) + 3z = 0\) \mapsto \(x - 7y + 3z - 17 = 0\).

Ответ: Прямые пересекаются в точке \((10,-1,0)\), уравнение плоскости: \(x - 7y + 3z - 17 = 0\).