Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает её; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости.

$\left.\begin{array}{l} 3x+5y-7z+16=0,
2x-y+z-6=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,5x-z-4=0;$

$\left.\begin{array}{l} 2x+3y+6z-10=0,
x+y+z+5=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,y+4z+17=0;$

$\left.\begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,
5x+3y+z-16=0, \end{array}\right\} ,\,\,\,\,2x-y-4z-24=0.$

Вектор задающий прямую найдём как нормаль нормалей первых двух плоскостей:

$$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 3 & 2 & \vec{e}_{x}\\ 5 & -1 & \vec{e}_{y}\\ -7 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=12\vec{e}_{x}+11\vec{e}_{y}-13\vec{e}_{z}.$$

Рассмотрим теперь скалярное произведение с нормалью к плоскости:

$\left(\vec{a},\vec{n}\right)=12\cdot5+11\cdot0+(-13)\cdot(-1)=73\neq0$ следовательно плоскость и прямая пересекаются.

Во втором случае

$$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & \vec{e}_{x}\\ 3 & 1 & \vec{e}_{y}\\ 6 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-3\vec{e}_{x}+4\vec{e}_{y}-1\vec{e}_{z}$$ и скалярное произведение:

$\left(\vec{a},\vec{n}\right)=-3\cdot0+4\cdot1+(-1)\cdot4=0$ плоскость и прямая параллельны или совпадают.

Проверим принадлежит ли любая точка прямой плоскости или нет? Если принадлежит, то система имеет решение:

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+6z-10=0,\\ x+y+z+5=0,\\ y+4z+17=0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} 0x+1y+4z-20=0,\\ x+y+z+5=0,\\ y+4z+17=0 \end{array}\right.$$

Пришли к противоречию: с одной стороны $y+4z-20=0,$ а с другой $y+4z+17=0,$ значит система не имеет решения, следовательно, плоскости и прямая параллельны.

В третьем случае:

$$\vec{a}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & \vec{e}_{x}\\ 2 & 3 & \vec{e}_{y}\\ 3 & 1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-7\vec{e}_{x}+14\vec{e}_{y}-7\vec{e}_{z}$$ и скалярное произведение:

$\left(\vec{a},\vec{n}\right)=-7\cdot2+14\cdot(-1)+(-7)\cdot(-4)=0$ плоскость и прямая параллельны или совпадают. Проверяем на совместность уравнения:

$$\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 5x+3y+z-16=0,\\ 2x-y-4z-24=0 \end{array}\right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 0x-7y-17z-56=0,\\ 0x-5y-10z-40=0 \end{array}\right.\Rightarrow$$

$$\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+8=0,\\ 0x-7y-17z-56=0,\\ 0x-0y+(17\cdot\frac{5}{7}-10)z+56\cdot\frac{5}{7}-40=0 \end{array}\right.$$

Как видим решение есть, значит прямая принадлежит плоскости.

/*

Даны две прямые:

$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}$

и

$$\left\{ \begin{array}{c} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 \end{array}\right.$$

Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы, эти прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были параллельны; 4) совпадали.

$xb-ay+ay_{0}-bx_{0}=0$

Найти ортогональную проекцию точки $(1,3,5)$ напрямую $2x+y+z-1=0,$ $3x+y+2z-3=0.$ — $(-2,1,4).$