Это старая версия документа!
```dokuwiki
Взаимное расположение прямой и плоскости
Условие задачи
Установить в каждом из следующих случаев, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее; в последнем случае найти точку пересечения прямой и плоскости.
Решение
Для каждой пары прямая–плоскость проверяем условия: - Если \( K = A a + B b + C c \neq 0 \), прямая пересекает плоскость. - Если \( K = 0 \) и \( M = A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \neq 0 \), прямая параллельна плоскости. - Если \( K = 0 \) и \( M = 0 \), прямая лежит в плоскости.
Здесь \((a, b, c)\) — направляющий вектор прямой, \((x_0, y_0, z_0)\) — точка на прямой, \((A, B, C)\) — нормальный вектор плоскости.
1) Прямая: \(\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}\) и плоскость: \(3x + 5y - z - 2 = 0\)
Направляющий вектор прямой: \(\mathbf{a} = (4, 3, 1)\), точка на прямой: \(P_0(12, 9, 1)\). Нормальный вектор плоскости: \(\mathbf{n} = (3, 5, -1)\).
\[ K = 3 \cdot 4 + 5 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 = 12 + 15 - 1 = 26 \neq 0. \] \[ M = 3 \cdot 12 + 5 \cdot 9 + (-1) \cdot 1 - 2 = 36 + 45 - 1 - 2 = 78. \]
Так как \(K \neq 0\), прямая пересекает плоскость. Находим параметр пересечения: \[ t = -\frac{M}{K} = -\frac{78}{26} = -3. \]
Координаты точки пересечения: \[ x = 12 + 4 \cdot (-3) = 0, \quad y = 9 + 3 \cdot (-3) = 0, \quad z = 1 + 1 \cdot (-3) = -2. \]
Ответ: Прямая пересекает плоскость в точке \((0, 0, -2)\).
2) Прямая: \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z}{3}\) и плоскость: \(3x - 3y + 2z - 5 = 0\)
Направляющий вектор прямой: \(\mathbf{a} = (2, 4, 3)\), точка на прямой: \(P_0(-1, 3, 0)\). Нормальный вектор плоскости: \(\mathbf{n} = (3, -3, 2)\).
\[ K = 3 \cdot 2 + (-3) \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 6 - 12 + 6 = 0. \] \[ M = 3 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 + 2 \cdot 0 - 5 = -3 - 9 - 5 = -17 \neq 0. \]
Так как \(K = 0\) и \(M \neq 0\), прямая параллельна плоскости.
Ответ: Прямая параллельна плоскости.
3) Прямая: \(\frac{x - 13}{8} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}\) и плоскость: \(x + 2y - 4z + 1 = 0\)
Направляющий вектор прямой: \(\mathbf{a} = (8, 2, 3)\), точка на прямой: \(P_0(13, 1, 4)\). Нормальный вектор плоскости: \(\mathbf{n} = (1, 2, -4)\).
\[ K = 1 \cdot 8 + 2 \cdot 2 + (-4) \cdot 3 = 8 + 4 - 12 = 0. \] \[ M = 1 \cdot 13 + 2 \cdot 1 + (-4) \cdot 4 + 1 = 13 + 2 - 16 + 1 = 0. \]
Так как \(K = 0\) и \(M = 0\), прямая лежит в плоскости.
Ответ: Прямая лежит в плоскости.
4) Прямая: \(\frac{x - 7}{5} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{4}\) и плоскость: \(3x - y + 2z - 5 = 0\)
Направляющий вектор прямой: \(\mathbf{a} = (5, 1, 4)\), точка на прямой: \(P_0(7, 4, 5)\). Нормальный вектор плоскости: \(\mathbf{n} = (3, -1, 2)\).
\[ K = 3 \cdot 5 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 15 - 1 + 8 = 22 \neq 0. \] \[ M = 3 \cdot 7 + (-1) \cdot 4 + 2 \cdot 5 - 5 = 21 - 4 + 10 - 5 = 22. \]
Так как \(K \neq 0\), прямая пересекает плоскость. Находим параметр пересечения: \[ t = -\frac{M}{K} = -\frac{22}{22} = -1. \]
Координаты точки пересечения: \[ x = 7 + 5 \cdot (-1) = 2, \quad y = 4 + 1 \cdot (-1) = 3, \quad z = 5 + 4 \cdot (-1) = 1. \]
Ответ: Прямая пересекает плоскость в точке \((2, 3, 1)\).
Итоговые ответы
| № | Прямая | Плоскость | Взаимное расположение | Точка пересечения |
| — | ——– | ———– | ———————— | ——————- |
| 1 | \(\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}\) | \(3x + 5y - z - 2 = 0\) | пересекает | \((0, 0, -2)\) |
| 2 | \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z}{3}\) | \(3x - 3y + 2z - 5 = 0\) | параллельна | — |
| 3 | \(\frac{x - 13}{8} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 4}{3}\) | \(x + 2y - 4z + 1 = 0\) | лежит в плоскости | — |
| 4 | \(\frac{x - 7}{5} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z - 5}{4}\) | \(3x - y + 2z - 5 = 0\) | пересекает | \((2, 3, 1)\) |
```