Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

$$\left.\begin{array}{c} x=1+u+v\\ y=2+u\\ z=3+u-v \end{array}\right\} \left.\begin{array}{c} x=3+2u\\ y=2-2u+4v\\ z=1+u+3v \end{array}\right\} $$

$$\left.\begin{array}{c} x=1+u+v\\ y=2+u\\ z=3+u-v \end{array}\right\} \left.\begin{array}{c} x=1+4u\\ y=3u+v\\ z=3+2u+2v \end{array}\right\} $$

$$\left.\begin{array}{c} x=1+u+v\\ y=2+u\\ z=3+u-v \end{array}\right\} \left.\begin{array}{c} x=-1+2u+v\\ y=u+2v\\ z=1+3v \end{array}\right\} $$

В первом случае $ \vec{r}-\vec{r_{0}}=\vec{r}-\left(1,2,3\right)=u\left(1,1,1\right)+v\left(1,0,-1\right)=u\vec{a}_{0}+v\vec{b}_{0} $ и вторая плоскость $ \vec{r}-\vec{r_{1}}=\vec{r}-\left(3,2,1\right)=u\left(2,-2,1\right)+v\left(0,4,3\right)=u\vec{a}_{1}+v\vec{b}_{1}. $ Найдём нормали плоскостей:

$$\vec{n}_{0}=\vec{a}_{0}\times\vec{b}_{0}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & \vec{e}_{x}\\ 1 & 0 & \vec{e}_{y}\\ 1 & -1 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-\vec{e}_{x}+2\vec{e}_{y}-\vec{e}_{z},$$

$$\vec{n}_{1}=\vec{a}_{1}\times\vec{b}_{1}=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & \vec{e}_{x}\\ -2 & 4 & \vec{e}_{y}\\ 1 & 3 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=-10\vec{e}_{x}-6\vec{e}_{y}+8\vec{e}_{z}=-2\left(5\vec{e}_{x}+3\vec{e}_{y}-4\vec{e}_{z}\right),$$

$$\vec{n}_{2}=\vec{a}_{2}\times\vec{b}_{2}=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & \vec{e}_{x}\\ 3 & 1 & \vec{e}_{y}\\ 2 & 2 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=4\vec{e}_{x}-8\vec{e}_{y}+4\vec{e}_{z}=4\left(\vec{e}_{x}-2\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=-4\vec{n}_{0},$$

$$\vec{n}_{3}=\vec{a}_{3}\times\vec{b}_{3}=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & \vec{e}_{x}\\ 1 & 2 & \vec{e}_{y}\\ 0 & 3 & \vec{e}_{z} \end{array}\right|=3\vec{e}_{x}-6\vec{e}_{y}+3\vec{e}_{z}=3\left(\vec{e}_{x}-2\vec{e}_{y}+\vec{e}_{z}\right)=-3\vec{n}_{0}.$$

Проверим теперь лежит ли вектор $\vec{r}_{2}-\vec{r_{0}}$ в плоскости базисных векторов $\vec{a}_{2},\vec{b}_{2}$: $$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 1-1\\ 3 & 1 & 0-2\\ 2 & 2 & 4-3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & 0\\ 3 & 1 & -2\\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|=4\left|\begin{array}{cc} 1 & -2\\ 2 & 1 \end{array}\right|=20\neq0$$ — значит не лежит, следовательно плоскости параллельны и не совпадают.

Тоже самое для третей плоскости:

$$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -1-1\\ 3 & 1 & 0-2\\ 2 & 2 & 1-3 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -2\\ 3 & 1 & -2\\ 2 & 2 & -2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -2\\ 1 & -1 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right|=0$$ — значит лежит, следовательно плоскости параллельны и совпадают.