Составить уравнение плоскости, проходящей через точку \((-2, 3, 0)\) и через прямую \[ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 + t, \\ z = 2 - t. \end{cases} \] Система координат аффинная.

Прямая задана параметрически. Из уравнений видно, что она проходит через точку \( M_1(1, 2, 2) \) (при \( t = 0 \)) и имеет направляющий вектор \( \mathbf{a} = (0,\; 1,\; -1) \).

Плоскость должна содержать заданную точку \( M_0(-2, 3, 0) \) и всю прямую, а значит, и точку \( M_1 \). Поэтому в плоскости лежат векторы: - направляющий вектор прямой \( \mathbf{a} = (0, 1, -1) \); - вектор \( \overrightarrow{M_0 M_1} = (1 - (-2),\; 2 - 3,\; 2 - 0) = (3, -1, 2) \).

Нормальный вектор плоскости \( \mathbf{n} \) найдём как векторное произведение: \[ \mathbf{n} = \mathbf{a} \times \overrightarrow{M_0 M_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \bigl(1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)\bigr) - \mathbf{j} \bigl(0 \cdot 2 - (-1) \cdot 3\bigr) + \mathbf{k} \bigl(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 3\bigr) \] \[ = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(0 + 3) + \mathbf{k}(0 - 3) = (1, -3, -3). \]

Уравнение плоскости с нормалью \( (1, -3, -3) \), проходящей через точку \( M_0(-2, 3, 0) \): \[ 1 \cdot (x + 2) - 3 \cdot (y - 3) - 3 \cdot (z - 0) = 0. \]

Упростим: \[ x + 2 - 3y + 9 - 3z = 0 \quad \Rightarrow \quad x - 3y - 3z + 11 = 0. \]

Уравнение искомой плоскости: \[ \boxed{x - 3y - 3z + 11 = 0}.