В плоскости, проходящей через три точки \( A = (2, 1, 3) \), \( B = (2, 4, 0) \), \( C = (-3, 0, 4) \), выбрана аффинная система координат с началом в точке \( A \) и базисными векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Найти:

1) пространственные координаты точки \( M \), имеющей в плоскостной системе координаты \( u = 5 \), \( v = -3 \); 2) плоскостные координаты \( u \) и \( v \) точки пересечения данной плоскости с осью \( Oz \). Система координат аффинная.

Векторы базиса в пространственных координатах: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2-2,\; 4-1,\; 0-3) = (0,\; 3,\; -3), \] \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-3-2,\; 0-1,\; 4-3) = (-5,\; -1,\; 1). \]

Точка \( M \) в плоскостной системе имеет координаты \( (u, v) = (5, -3) \), что означает: \[ \overrightarrow{AM} = u \cdot \overrightarrow{AB} + v \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \cdot (0, 3, -3) + (-3) \cdot (-5, -1, 1) = (0, 15, -15) + (15, 3, -3) = (15, 18, -18). \]

Тогда пространственные координаты \( M \): \[ M = A + \overrightarrow{AM} = (2, 1, 3) + (15, 18, -18) = (17, 19, -15). \]

Ось \( Oz \) задаётся уравнениями \( x = 0 \), \( y = 0 \). Любая точка плоскости представима в параметрическом виде: \[ \begin{cases} x = 2 + 0 \cdot u - 5v = 2 - 5v,\\ y = 1 + 3u - v,\\ z = 3 - 3u + v, \end{cases} \quad u, v \in \mathbb{R}. \]

Для точки пересечения с осью \( Oz \) выполняются условия \( x = 0 \), \( y = 0 \). Получаем систему: \[ \begin{cases} 2 - 5v = 0,\\ 1 + 3u - v = 0. \end{cases} \]

Из первого уравнения \( v = \dfrac{2}{5} \). Подставляем во второе: \[ 1 + 3u - \frac{2}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3u + \frac{3}{5} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3u = -\frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad u = -\frac{1}{5}. \]

Проверим координату \( z \): \[ z = 3 - 3 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + \frac{2}{5} = 3 + \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 3 + 1 = 4. \] Точка пересечения: \( (0, 0, 4) \), что действительно лежит на оси \( Oz \).

1) Пространственные координаты точки \( M \): \[ \boxed{M(17,\; 19,\; -15)}. \]

2) Плоскостные координаты точки пересечения плоскости с осью \( Oz \): \[ \boxed{u = -\dfrac{1}{5},\quad v = \dfrac{2}{5}}.\]