Составить уравнения прямой, проходящей через точку \( (3, -1, -4) \), пересекающей ось \( Oy \) и коллинеарной плоскости \( y + 2z = 0 \). Система координат аффинная.

Пусть искомая прямая пересекает ось \( Oy \) в точке \( B \). Ось \( Oy \) задается уравнениями \( x=0, z=0 \), поэтому координаты точки \( B \) можно обозначить как \( B(0, b, 0) \).

Прямая проходит через точку \( A(3, -1, -4) \) и точку \( B \). Тогда вектор \( \overrightarrow{AB} = (-3, b+1, 4) \) будет направляющим вектором прямой.

Условие «коллинеарности плоскости» \( y + 2z = 0 \) означает, что прямая параллельна этой плоскости (или лежит в ней). Это эквивалентно тому, что направляющий вектор прямой ортогонален нормальному вектору плоскости. Нормальный вектор плоскости \( y + 2z = 0 \) равен \( \mathbf{n} = (0, 1, 2) \).

Условие ортогональности векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \mathbf{n} \): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \mathbf{n} = 0. \] Вычислим скалярное произведение: \[ 0 \cdot (-3) + 1 \cdot (b+1) + 2 \cdot 4 = b + 1 + 8 = b + 9 = 0. \] Отсюда \( b = -9 \). Таким образом, точка пересечения с осью \( Oy \) есть \( B(0, -9, 0) \).

Направляющий вектор прямой \( \overrightarrow{AB} = (-3, -9+1, 4) = (-3, -8, 4) \). Можно упростить, взяв коллинеарный вектор, например, \( (3, 8, -4) \) (умножив на -1), что не изменит направление прямой.

Уравнения прямой, проходящей через точку \( A(3, -1, -4) \) с направляющим вектором \( (-3, -8, 4) \), в канонической форме: \[ \frac{x - 3}{-3} = \frac{y + 1}{-8} = \frac{z + 4}{4}. \] Можно также использовать точку \( B \): \[ \frac{x}{-3} = \frac{y + 9}{-8} = \frac{z}{4}. \] Для упрощения можно избавиться от минусов в знаменателях, записав: \[ \frac{x - 3}{3} = \frac{y + 1}{8} = \frac{z + 4}{-4}, \] поскольку дроби остаются равными при изменении знаков числителя и знаменателя.

Уравнения искомой прямой: \[ \boxed{\frac{x - 3}{-3} = \frac{y + 1}{-8} = \frac{z + 4}{4}} \] или в эквивалентном виде: \[ \boxed{\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 1}{8} = \frac{z + 4}{-4}}. \]